Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，(為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接(將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到,記旋轉(zhuǎn)角為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是,連接是中點(diǎn)，連接．

（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，求證，且；

（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)(直接寫(xiě)出結(jié)果即可) ．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)；（2）見(jiàn)解析；（3）點(diǎn)或．

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由旋轉(zhuǎn)圖形性質(zhì)，得到AM的長(zhǎng)，再應(yīng)用解直角三角形的知識(shí)問(wèn)題可解；

（2）根據(jù)直角三角形斜邊上中線(xiàn)等于斜邊一半可證OP=PN，再由三角形內(nèi)角和知識(shí)，證明即可；

（3）根據(jù)題意畫(huà)出滿(mǎn)足條件圖形，過(guò)M做于點(diǎn)E，利用銳角三角函數(shù)和旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，求出，則問(wèn)題可解.

（1）如圖點(diǎn)，點(diǎn)

是中點(diǎn)

，

且

即為等腰直角三角形

當(dāng)時(shí)，

點(diǎn)落在上，

由旋轉(zhuǎn)可知

過(guò)點(diǎn)作，垂足為

則

則

點(diǎn)

如圖，當(dāng)時(shí)，

點(diǎn)共線(xiàn)，點(diǎn)共線(xiàn)

，

且是中點(diǎn)，

，

且

則

可得

即

即

當(dāng)點(diǎn)B、M、N共線(xiàn)，M位于B、N之間時(shí)，如圖

過(guò)M做于點(diǎn)E

由已知，，

在中，

在中，

則點(diǎn)M坐標(biāo)為

當(dāng)點(diǎn)B、M、N共線(xiàn)，N位于B、M之間時(shí)，如圖

過(guò)M做于點(diǎn)E

由已知，，

在中，

在中，

則點(diǎn)M坐標(biāo)為

綜上，點(diǎn)或