Question

在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P△ABC為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PE∥AC交AB于點(diǎn)E，PF∥AB交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F
（1）當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上（如圖1）時，請你探索線段PD，PE，PF，AB與之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)（如圖2）時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，線段PD，PE，PF，AB與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外（如圖3）時，線段PD，PE，PF，AB與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）先求出四邊形PFAE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對邊相等可得PF=AE，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠BPE=∠C，然后求出∠B=∠BPE，利用等角對等邊求出PE=BE，然后求解即可；
（2）根據(jù)等邊對等角可得∠B=∠C，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠B=∠CDF，然后求出∠C=∠CDF，再根據(jù)等角對等邊可得CF=PD+PF，然后求出四邊形PFAE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對邊相等可得PE=AF，然后求出PD+PE+PF=AC，等量代換即可得證；
（3）證明思路同（2）．

解答：（1）答：PD+PE+PF=AB．
證明如下：∵點(diǎn)P在BC上，
∴PD=0，
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四邊形PFAE是平行四邊形，
∴PF=AE，
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠C，
∴∠B=∠BPE，
∴PE=BE，
∴PE+PF=BE+AE=AB，
∵PD=0，
∴PD+PE+PF=AB；

（2）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵PF∥AB，
∴∠B=∠CDF，
∴∠C=∠CDF，
∴CF=PD+PF，
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四邊形PFAE是平行四邊形，
∴PE=AF，
∴PD+PE+PF=AC，
∴PD+PE+PF=AB；

（3）證明：同（2）可證DF=CF，PE=AF，
∵AF+CF=AC，
∴PE+PF-PD=AC，
∴PE+PF-PD=AB．

點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記平行四邊形的判定方法與性質(zhì)，并準(zhǔn)確識圖理清圖中邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，此類題目，關(guān)鍵在于后面小題與前面小題的求解思路相同．