Question

17．如圖，點(diǎn)P在等邊△ABC的內(nèi)部，且PC=6，PA=8，PB=10，將線段PC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到P'C，連接AP'，則sin∠PAP'的值為$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 連接PP′，如圖，先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CP=CP′=6，∠PCP′=60°，則可判定△CPP′為等邊三角形得到PP′=PC=6，再證明△PCB≌△P′CA得到PB=P′A=10，接著利用勾股定理的逆定理證明△APP′為直角三角形，∠APP′=90°，然后根據(jù)正弦的定義求解．

解答 解：連接PP′，如圖，
∵線段PC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到P'C，
∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°，
∴△CPP′為等邊三角形，
∴PP′=PC=6，
∵△ABC為等邊三角形，
∴CB=CA，∠ACB=60°，
∴∠PCB=∠P′CA，
在△PCB和△P′CA中
$\left\{\begin{array}{l}{PC=P′C}\\{∠PCB=∠P′CA}\\{CB=CA}\end{array}\right.$，
∴△PCB≌△P′CA，
∴PB=P′A=10，
∵6²+8²=10²，
∴PP′²+AP²=P′A²，
∴△APP′為直角三角形，∠APP′=90°，
∴sin∠PAP′=$\frac{PP′}{P′A}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．
故答案為$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理．