Question

8．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC為⊙O的直徑，點(diǎn)E為△ABC的內(nèi)心，連接AE并延長(zhǎng)交⊙O于D點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)至F，使得BD=DF，連接CF、BE．
（1）求證：DB=DE；
（2）求證：直線CF為⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）欲證明DB=DE，只要證明∠DBE=∠DEB；
（2）欲證明直線CF為⊙O的切線，只要證明BC⊥CF即可；

解答 （1）證明：∵E是△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，
∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．

（2）連接CD．
∵DA平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴BD=CD，
∵BD=DF，
∴CD=DB=DF，
∴∠BCF=90°，
∴BC⊥CF，
∴CF是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、切線的判定、等腰三角形的判定、直角三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考常考題型．