Question

17．如圖，拋物線y=ax²-$\frac{3}{2}$x-2（a≠）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，已知B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)M是線段BC下方的拋物線上一點(diǎn)，求△MBC的面積的最大值，并求出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）試探究：△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）該函數(shù)解析式只有一個(gè)待定系數(shù)，只需將B點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式中即可．
（2）利用過點(diǎn)M作y軸的平行線，再利用S_△MBC=S_△CME+S_△BEM得出二次函數(shù)最值得出答案；
（3）首先根據(jù)拋物線的解析式確定A點(diǎn)坐標(biāo)，然后通過證明△ABC是直角三角形來推導(dǎo)出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標(biāo)．

解答 解：（1）將B（4，0）代入拋物線的解析式中，得：
0=16a-$\frac{3}{2}$×4-2，即：a=$\frac{1}{2}$；
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．

（2）可得：B（4，0）、C（0，-2），設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$
故直線BC的解析式為：y=x-2；
設(shè)x_M=t，則y_M=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{2}$t-2，y_N=$\frac{1}{2}$t-2，
S_△MBC=S_△CME+S_△BEM=$\frac{1}{2}$EM•ON+$\frac{1}{2}$EM•BN=$\frac{1}{2}$EM•OB
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$t-2-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2）×4
=-t²+4t
=-（t-2）²+4，
∴當(dāng)t=2時(shí)，S_△MBC=最大值為4，此時(shí)M（2，-3）；

（3）由（1）的函數(shù)解析式可求得：A（-1，0）、C（0，-2）；
∴OA=1，OC=2，OB=4，
即：OC²=OA•OB，
又∵OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，
∴∠OCA=∠OBC；
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，
∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑；
∴該外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)，且坐標(biāo)為（1.5，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)綜合題，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)最值求法以及三角形的面積公式，正確利用相似三角形的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．