Question

13．如圖，在△ABC中，O是AC上的任意一點（不與點A、C重合），過點O平行于BC的直線l分別與∠BCA、∠DCA的平分線交于點E、F．
（1）OE與OF相等嗎？證明你的結論．
（2）試確定點O的位置，使四邊形AECF是矩形，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據平行線性質和角平分線定義推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，根據等腰三角形的判定推出OE=OC，OF=OC即可；
（2）根據平行四邊形的判定得出平行四邊形AECF，根據對角線相等的平行四邊形是矩形推出即可；

解答 （1）解：相等；理由是：∵直線l∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠OCE=∠BCE，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理OF=OC，
∴OE=OF．

（2）解：O在AC的中點上時，四邊形AECF是矩形，
理由是：∵OA=OC，OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵OE=OF=OC=OA，
∴AC=EF，
∴平行四邊形AECF是矩形．

點評 本題綜合考查了平行四邊形的性質和判定，矩形的判定，平行線的性質，角平分線定義等知識點的應用，題型較好，綜合性比較強，難度也適中．