Question

20．如圖，已知拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+mx+n與x軸相交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B的直線y=-x+b交拋物線于另一點(diǎn)C（-5，6），點(diǎn)D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)B、C不重合），作DE∥AC，交該拋物線于點(diǎn)E，
（1）求m，n，b的值；
（2）求tan∠ACB；
（3）探究在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在∠DEA=45°？若存在，則求此時(shí)線段AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析式中的常數(shù)項(xiàng)b，再令一次函數(shù)解析式中y=0求出x值，由此可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)解析式中的系數(shù)m、n；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，由二次函數(shù)解析式可求出交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，由點(diǎn)B、C、A點(diǎn)的坐標(biāo)，可找出線段CF、BF、AF、BA的長(zhǎng)，通過(guò)解直角三角形即可找出BG、AG、BC的長(zhǎng)，再根據(jù)正切的計(jì)算公式即可得出結(jié)論；
（3）假設(shè)存在，連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥x軸于點(diǎn)M，通過(guò)角的計(jì)算得出∠BAE=∠BDE=∠BCA，設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)（2）的結(jié)論tan∠ACB=$\frac{1}{2}$，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵直線y=-x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（-5，6），
∴6=-（-5）+b，解得：b=1，
∴直線BC的解析式為y=-x+1．
∵令y=-x+1中y=0，則0=-x+1，解得：x=1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），
∵拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+mx+n過(guò)點(diǎn)B（1，0）、C（-5，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=\frac{1}{2}+m+n}\\{6=\frac{25}{2}-5m+n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
∴b=1，m=1，n=-$\frac{3}{2}$．
（2）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，如圖1所示．

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-5，6），
∴點(diǎn)F（-5，0）．
∵拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
令y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$中y=0，$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$=0，即x²+2x-3=0，
解得：x=-3，或x=1，
∴點(diǎn)A（-3，0）、點(diǎn)B（1，0），
∴CF=BF=6，AF=2，AB=4．
在Rt△BFC中，∠BFC=90°，CF=BF=6，
∴∠CBF=45°，BC=6$\sqrt{2}$．
在Rt△AGB中，∠AGB=90°，∠ABG=45°，AB=4，
∴BG=AG=2$\sqrt{2}$，
∴CG=BC-BG=4$\sqrt{2}$，
∴tan∠ACB=$\frac{AG}{CG}$=$\frac{1}{2}$．
（3）假設(shè)存在，連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥x軸于點(diǎn)M，如圖2所示．

∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠BCA．
∵∠DEA=45°，∠DBA=45°，
∴∠BAE=∠BDE=∠BCA，
∴tan∠BAE=$\frac{1}{2}$．
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，$\frac{1}{2}$t²+t-$\frac{3}{2}$）（-3＜t＜1），
則AM=t-（-3）=3+t，EM=-（$\frac{1}{2}$t²+t-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{2}$t²-t+$\frac{3}{2}$，
∴tan∠BAE=$\frac{EM}{AM}$=$\frac{-\frac{1}{2}{t}^{2}-t+\frac{3}{2}}{3+t}$=$\frac{1}{2}$，即t²+3t=0，
解得：t=0，或t=-3（舍去）．
經(jīng)驗(yàn)證t=0是分式方程的根．
當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，-$\frac{3}{2}$），
此時(shí)AE=$\sqrt{（-3-0）^{2}+[0-（-\frac{3}{2}）]^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$；
故在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在∠DEA=45°，此時(shí)線段AE的長(zhǎng)為$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解直角三角形、兩點(diǎn)間的距離公式以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求出線段AG、BG的長(zhǎng)；（3）找出關(guān)于t的一元二次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．