Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，且AD=3cm，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．作∠DEF=45°，與邊BC相交于點(diǎn)F．
（1）找出圖中的一對(duì)相似三角形，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)△BEF為等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)；
（3）求動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路線長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠A=∠B=45°由三角形的外角性質(zhì)和已知條件證出∠ADE=∠BEF，即可得出結(jié)論；
（2）分三種情況：①若EF=BF，由相似三角形的性質(zhì)和勾股定理求出AE=DE=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$即可；
②若EF=BE，由相似三角形的性質(zhì)和勾股定理求出AE即可；
③若BF=BE，則∠FEB=∠EFB，由△ADE∽△BEF得出AE=AD=3即可．
（3）由（1）得出△ADE∽△BEF，得到$\frac{AD}{BE}$=$\frac{AE}{BF}$，得出y是x的二次函數(shù)，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）△ADE∽△BEF，理由如下：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠DEB=∠A+∠ADE=∠DEF+∠BEF，∠DEF=45°，
∴∠ADE=∠BEF，
∴△ADE∽△BEF；
（2）分三種情況
①如圖1，若EF=BF，則∠B=∠BEF，
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠A=∠ADE=45°，
∴∠AED=90°，
∴AE=DE=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$；
②如圖2，若EF=BE，則∠B=∠EFB
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠A=∠AED=45°，
∴∠ADE=90°，
∴AE=3$\sqrt{2}$；
③如圖3，若BF=BE，則∠FEB=∠EFB
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD=3．
綜上所述，當(dāng)△BEF為等腰三角形時(shí)，AE的長(zhǎng)為$\frac{3}{2}\sqrt{2}$或3$\sqrt{2}$或3．
（3）設(shè)AE=xcm，BF長(zhǎng)為ycm．
∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4．
∴∠A=∠B=45°，AB=4$\sqrt{2}$，
由（1）得：△ADE∽△BEF，
∴$\frac{AD}{BE}$=$\frac{AE}{BF}$，
∴$\frac{3}{4\sqrt{2}-x}$=$\frac{x}{y}$
∴y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}\sqrt{2}$x，
∴y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}\sqrt{2}$x=-$\frac{1}{3}$（x-2$\sqrt{2}$）²+$\frac{8}{3}$，
∴當(dāng)x=2$\sqrt{2}$時(shí)，y有最大值=$\frac{8}{3}$，
當(dāng)E到達(dá)AB中點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)距離B最遠(yuǎn)；當(dāng)E越過(guò)A運(yùn)動(dòng)，最終和B重合（嚴(yán)格說(shuō)無(wú)限接近B），
∴F的路線是一來(lái)一回，即BF的最大值的2倍，
∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)路程為2×$\frac{8}{3}$cm=$\frac{16}{3}$cm．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的最值，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，靈活運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，用的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想．