Question

10．（1）如圖甲，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，過點A有一條直線l，且點B，C在AE的同側(cè)，作BD⊥AE于點D，CE⊥AE于點E，則DE=BD+CE，請說明理由．
（2）若將直線l繞點A旋轉(zhuǎn)到圖乙的位置，此時BD＞CE，其余條件不變，則DE，BD，CE之間顯然還有DE=BD+CE的關(guān)系，若將直線l繞點A繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖丙的位置，其余條件不變，上述關(guān)系還成立嗎？從圖形直觀來看，是不成立的，那么DE，BD，CE三條線段之間又有怎樣的關(guān)系呢？請你試著寫出成立的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）由條件可以得出∠D=∠E=90°，∠4=∠3，就可以證明△ADB≌△CEA就可以得出BD=AE，AD=CE，由DE=AD+AE就可以得出結(jié)論；
（2）由條件可以得出∠ADB=∠CEA=90°，∠1=∠3，再由AB=AC就可以得出△ADB≌△CEA，就可以得出BD=AE，AD=CE，由AE=AD+DE就可以得出BD=CE+DE．

解答 解：（1）如圖甲，∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠D=∠E=90°，
∵∠2=90°，
∴∠1+∠3=90°．
∵∠1+∠4=90°，
∴∠3=∠4．
在△ADB和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠E}\\{∠4=∠3}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2）BD=DE+CE
理由：如圖丙，
∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠CEA=90°．
∴∠2+∠3=90°．
∵∠1+∠2=90°，
∴∠3=∠1．
在△ADB和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CEA}\\{∠3=∠1}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD=AE，AD=CE．
∵AE=AD+ED，
∴BD=DE+CE．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是解答本題的關(guān)鍵．