Question

20．如圖，在△ABC中，BE⊥AC于點E，CF⊥AB于點F，D為BC邊的中點，連接DE，DF．
（1）求證：DE=DF；
（2）若AB=AC，求證：BE=CF；
（3）若AB＜AC，求證：BE＜CF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得FD=$\frac{1}{2}$BC，ED=$\frac{1}{2}$CB，進而可得ED=DF；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）在AC邊截取AN=AB，過N作NH⊥AB，同理可得BE=NH，根據(jù)等量代換即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵BE、CF分別是AC、AB邊上的高，
∴∠CFB=90°，∠CEB=90°，
在Rt△BFC中，
∵D是BC的中點，
∴FD=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△BEC中，
∵D是BC的中點，
∴ED=$\frac{1}{2}$CB，
∴DE=DF；

（2）在△ABE與△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠AFC=90°}\\{∠A=∠A}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF，
∴BE=CF；

（3）在AC截取AN=AB，過N作NH⊥AB，
同理可得BE=NH，
∵NH＜CF，
∴BE＜CF．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．