Question

10．如圖，一次函數(shù)y₁=k₁x+b與反比例函數(shù)y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的圖象交于點(diǎn)A（4，m）和B（-8，-2），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）m=4，k₁=$\frac{1}{2}$；
（2）當(dāng)x的取值是-8＜x＜0或x＞4時，k₁x+b＞$\frac{{k}_{2}}{x}$；
（3）過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P是反比例函數(shù)在第一象限的圖象上一點(diǎn)．設(shè)直線OP與線段AD交于點(diǎn)E，當(dāng)S_{四邊形ODAC}：S_△ODE=3：1時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由A與B為一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，將B坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中，求出k₂的值，確定出反比例解析式，再將A的坐標(biāo)代入反比例解析式中求出m的值，確定出A的坐標(biāo)，將B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中即可求出k₁的值；
（2）由A與B橫坐標(biāo)分別為4、-8，加上0，將x軸分為四個范圍，由圖象找出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時x的范圍即可；
（3）先求出四邊形ODAC的面積，由S_{四邊形ODAC}：S_△ODE=3：1得到△ODE的面積，繼而求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而得出直線OP的解析式，結(jié)合反比例函數(shù)解析式即可得．

解答 解：（1）∵反比例函數(shù)y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的圖象過點(diǎn)B（-8，-2），
∴k₂=（-8）×（-2）=16，
即反比例函數(shù)解析式為y₂=$\frac{16}{x}$，
將點(diǎn)A（4，m）代入y₂=$\frac{16}{x}$，得：m=4，即點(diǎn)A（4，4），
將點(diǎn)A（4，4）、B（-8，-2）代入y₁=k₁x+b，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=4}\\{-8k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)解析式為y₁=$\frac{1}{2}$x+2，
故答案為：4，$\frac{1}{2}$；

（2）∵一次函數(shù)y₁=k₁x+2與反比例函數(shù)y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的圖象交于點(diǎn)A（4，4）和B（-8，-2），
∴當(dāng)y₁＞y₂時，x的取值范圍是-8＜x＜0或x＞4，
故答案為：-8＜x＜0或x＞4；

（3）由（1）知，y₁=$\frac{1}{2}$x+2與反比例函數(shù)y₂=$\frac{16}{x}$，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，2），點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，4）．
∴CO=2，AD=OD=4．
∴S_梯形ODAC=$\frac{CO+AD}{2}$•OD=$\frac{2+4}{2}$×4=12，
∵S_{四邊形ODAC}：S_△ODE=3：1，
∴S_△ODE=$\frac{1}{3}$S_梯形ODAC=$\frac{1}{3}$×12=4，
即$\frac{1}{2}$OD•DE=4，
∴DE=2．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，2）．
又點(diǎn)E在直線OP上，
∴直線OP的解析式是y=$\frac{1}{2}$x，
∴直線OP與y₂=$\frac{16}{x}$的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評 此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，利用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，學(xué)生做題時注意靈活運(yùn)用．