Question

16．如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4$\sqrt{2}$，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底邊DE與BC重合，兩腰分別落在AB、AC上，且G、F分別是AB、AC的中點．
（1）直接寫出△AGF與△ABC的面積的比值；
（2）操作：固定△ABC，將等腰梯形DEFG以每秒1個單位的速度沿BC方向向右運動，直到點D與點C重合時停止．設(shè)運動時間為x秒，運動后的等腰梯形為DEF′G′（如圖2）．
①探究1：在運動過程中，四邊形CEF′F能否是菱形？若能，請求出此時x的值；若不能，請說明理由．
②探究2：設(shè)在運動過程中△ABC與等腰梯形DEFG重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）由三角形的中位線定理可知：FG∥BC，且$GF=\frac{1}{2}BC$，從而得到△AGF∽△ABC，且相似比為1：2，由相似三角形的面積比等于相似比的平方可知：△AGF與△ABC的面積比是1：4；
（2）①首先由特殊銳角三角函數(shù)值可求得AC的長為4，從而得到FC=2，因為FC∥EF'，CE∥FF'，四邊形CEF'F是平行四邊形，當CE=CF=2時，四邊形CEF'F為菱形，從而可得到x=2；
②當0≤x＜2$\sqrt{2}$時，如圖3所示；過點F作FM⊥BC，垂足為M，先求得FG=2$\sqrt{2}$，F(xiàn)M=$\sqrt{2}$，由梯形的面積公式可知S_{梯形G′DCF}=$\frac{1}{2}（G′F+DC）•FM$=6-$\sqrt{2}x$，故此y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=6-$\sqrt{2}x$；當2$\sqrt{2}$≤x≤4$\sqrt{2}$時，如圖4所示：過點P作PM⊥BC，垂足為M，則D′C=DC-DD′=4$\sqrt{2}$-x，然后再證得PM=$\frac{1}{2}D′C$=$\frac{1}{2}×（4\sqrt{2}-x）$，最后由三角形的面積公式可知：△PD′C的面積=$\frac{1}{2}D′C•PM$=$\frac{1}{4}{x}^{2}-2\sqrt{2}x+8$，故此可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：（1）如圖1所示：

∵G、F分別是AB和AC的中點，
∴FG∥BC，且$GF=\frac{1}{2}BC$．
∴△AGF∽△ABC，且$\frac{GF}{BC}=\frac{1}{2}$．
由相似三角形的面積比等于相似比的平方可知：△AGF與△ABC的面積比是1：4．
（2）①能為菱形．
理由：如圖2所示：

∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠ACB=45°．
∵cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{AC}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴AC=4．
∴CF=2．
∵FC∥EF'，CE∥FF'，
∴四邊形CEF'F是平行四邊形．
∴當$CE=CF=\frac{1}{2}AC=2$時，四邊形CEF'F為菱形，
∴x=2．
∴當x=2秒時，四邊形CEF'F為菱形；
②當0≤x＜2$\sqrt{2}$時，如圖3所示；過點F作FM⊥BC，垂足為M．

∵$GF=\frac{1}{2}BC$
∴FG=2$\sqrt{2}$．
∵FC=2，∠FMC=90°，∠FCB=45°，
∴sin45°=$\frac{FM}{EC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{FM}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴FM=$\sqrt{2}$．
S_{梯形G′DCF}=$\frac{1}{2}（G′F+DC）•FM$=$\frac{1}{2}（2\sqrt{2}-x+4\sqrt{2}-x）×\sqrt{2}$=6-$\sqrt{2}x$，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=6-$\sqrt{2}x$；
當2$\sqrt{2}$≤x≤4$\sqrt{2}$時，如圖4所示：過點P作PM⊥BC，垂足為M．

D′C=DC-DD′=4$\sqrt{2}$-x，
∵△PDC為等腰直角三角形，PM⊥D′C，
∴PM=$\frac{1}{2}D′C$=$\frac{1}{2}×（4\sqrt{2}-x）$．
∴△PD′C的面積=$\frac{1}{2}D′C•PM$=$\frac{1}{2}×（4\sqrt{2}-x）×\frac{1}{2}×（4\sqrt{2}-x）$=$\frac{1}{4}{x}^{2}-2\sqrt{2}x+8$．
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=$\frac{1}{4}{x}^{2}-2\sqrt{2}x+8$．
綜上所述，y與x的函數(shù)關(guān)系為y=6$\left\{\begin{array}{l}{6-\sqrt{2}x（0≤x＜2\sqrt{2}）}\\{\frac{1}{4}{x}^{2}-2\sqrt{2}x+8（2\sqrt{2}≤x≤4\sqrt{2}）}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查的是三角形的中位線定理、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)以及三角形和梯形的面積公式的綜合應(yīng)用，利用含x的代數(shù)式，表示出梯形和三角形的底和高的長度是解題的關(guān)鍵．