Question

17．如圖，已知點P₁（2，8）在反比例函數y₁=$\frac{m}{x}$的圖象上，一次函數y₂=kx+t的圖象經過點P₁，并與反比例函數y₁=$\frac{m}{x}$的圖象交于第一象限的點P₂（a，b）．
（1）當b=2時，①求反比例函數與一次函數的表達式；②直接寫出關于x的不等式$\frac{m}{x}$＜kx+t的解集；
（2）分別過點P₁、P₂向x軸和y軸作垂線，垂足依次為A₁、B₁，A₂、B₂，分別記四邊形P₁A₁OB₁、P₂A₂OB₂的周長為C₁、C₂，當a＞2時，試比較C₁和C₂的大小．

Answer 1

分析 （1）①將點P₁代入反比例函數求得其解析式，由b=2得出點P₂的坐標，根據P₁、P₂的坐標可得直線解析式；
②根據函數圖象中反比例函數圖象位于一次函數圖象下方對應的x的范圍可得；
（2）根據點P₁、P₂的坐標列出C₁-C₂關于a的解析式，再結合a的范圍分類討論可得．

解答 解：（1）①將點P₁的坐標（2，8）代入y₁=$\frac{m}{x}$，
得8=$\frac{m}{2}$，解得：m=16，
∴反比例函數的表達式為：y₁=$\frac{16}{x}$．
∵b=2，P₂（a，b）在反比例函數圖象上，
∴$\frac{16}{a}$=2，解得：a=8．
將P₁（2，8）、P₂（8，2）代入y₂=kx+t，
得$\left\{\begin{array}{l}2k+t=8\\ 8k+t=2\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{t=10}\end{array}\right.$，
∴y₂=-x+10．

②不等式$\frac{m}{x}$＜kx+t的解集為x＜0或2＜x＜8．

（2）C₁=2（2+8）=20，C₂=2（a+$\frac{16}{a}$），
所以C₂-C₁=2（a+$\frac{16}{a}$）-20
=2•$\frac{{{a^2}-10a+16}}{a}$
=2•$\frac{{{{（a-5）}^2}-9}}{a}$
=2•$\frac{（a-2）（a-8）}{a}$．
∵a＞2，
∴當2＜a＜8時，C₂＜C₁；
當a=8時，C₂=C₁；
當a＞8時，C₂＞C₁．

點評 本題主要考查反比例函數與一次函數交點問題，熟練掌握待定系數法求函數解析式及分類討論的思想是解題的關鍵．