Question

11．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N分別為OA，OB，OC，OD的中點(diǎn)，連接EF，F(xiàn)M，MN，NE．
（1）依題意，補(bǔ)全圖形；
（2）求證：四邊形EFMN是矩形；
（3）連接DM，若DM⊥AC于點(diǎn)M，ON=3，求矩形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題目要求畫出圖形即可；
（2）根據(jù)三角形中位線定理可得EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB，NM∥CD，MN=$\frac{1}{2}$DC，再由矩形的性質(zhì)可得AB∥DC，AB=DC，AC=BD，進(jìn)而可得四邊形EFMN是矩形；
（3）根據(jù)條件可得DM垂直平分OC，進(jìn)而可得DO=CO，然后證明△COD是等邊三角形，進(jìn)而得出BC，CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．

解答 （1）解：如圖所示：

（2）證明：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為OA，OB的中點(diǎn)，
∴EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB，
同理：NM∥CD，MN=$\frac{1}{2}$DC，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AB=DC，AC=BD，
∴EF∥NM，EF=MN，
∴四邊形EFMN是平行四邊形，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N分別為OA，OB，OC，OD的中點(diǎn)，
∴EO=$\frac{1}{2}$AO，MO=$\frac{1}{2}$CO，
在矩形ABCD中，AO=CO=$\frac{1}{2}$AC，BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，
∴EM=EO+MO=$\frac{1}{2}$AC，
同理可證FN=$\frac{1}{2}$BD，
∴EM=FN，
∴四邊形EFMN是矩形．

（3）解：∵DM⊥AC于點(diǎn)M，
由（2）MO=$\frac{1}{2}$CO，
∴DO=CD，
在矩形ABCD中，
AO=CO=$\frac{1}{2}$AC，BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴AO=BO=CO=DO，
∴△COD是等邊三角形，
∴∠ODC=60°，
∵M(jìn)N∥DC，
∴∠FNM=∠ODC=60°，
在矩形EFMN中，∠FMN=90°．
∴∠NFM=90°-∠FNM=30°，
∵NO=3，
∴FN=2NO=6，F(xiàn)M=3$\sqrt{3}$，MN=3，
∵點(diǎn)F，M分別為OB，OC的中點(diǎn)，
∴BC=2FM=6$\sqrt{3}$，
∴矩形的面積為BC•CD=36$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確得出△COD是等邊三角形是解題關(guān)鍵．