Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點(diǎn)，開口向下的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，B，且頂點(diǎn)P在⊙C上．
（1）寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）試確定此拋物線的解析式
（3）在該拋物線是否存在一點(diǎn)D，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)C作DC⊥AB，垂足為D．由垂徑定理可知：AD=DB，然后由勾股定理可求得AD的長(zhǎng)，從而得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）由圖形的對(duì)稱性可知P在CD上，從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²+3，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入可得到a的值，從而可得到拋物線的解析式；
（3）取OP的中點(diǎn)E，連接CE，并延長(zhǎng)CE到D使ED=CE．首先由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后判斷點(diǎn)D是否在拋物線上即可．

解答 解：如圖1所示：過點(diǎn)C作DC⊥AB，垂足為D．

∵CD⊥AB，
∴AD=DB．
∵在Rt△ADC中，AC=2，CD=1，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴DB=$\sqrt{3}$．
∴A（1-$\sqrt{3}$，0）、B（1$+\sqrt{3}$，0）．
（2）如圖1所示：
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱，
∴CD為拋物線的對(duì)稱．
∴點(diǎn)P在CD上．
∵CD=1，CP=2，
∴PD=3．
∴P（1，3）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²+3．
∵將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：3a+3=0，解得：a=-1，
∴拋物線的解析式y(tǒng)=-（x-1）²+3，即y=-x²+2x+2．
（3）存在．
理由：如圖2所示：取OP的中點(diǎn)E，連接CE，并延長(zhǎng)CE到D使ED=CE．

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y）．
∵OP與CD相互平分，
∴$\frac{x+1}{2}=\frac{0+1}{2}$，$\frac{y+1}{2}=\frac{3+0}{2}$．
∴x=0，y=2．
∵將x=0代入拋物線的解析式得y=2，
∴點(diǎn)D在拋物線上．
∴當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）時(shí)，OP與CD相互平分．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了垂徑定理、勾股定理、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)是解答問題（2）的關(guān)鍵；利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)D的坐標(biāo)是解答問題（3）的關(guān)鍵．