Question

2．如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=10，點E、F是矩形內(nèi)兩點，BE=DF=3，AE=CF=4，AE的延長線與DF的延長線交于點H，BE的延長線與CF的延長線交于點G，
（1）求證：四邊形EHFG是矩形；
（2）求EF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠GEH=∠AEB=90°，同理∠GFH=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DCG=∠BAH，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BAH=∠GAH=∠DCG，求得∠GEH=∠BGC=∠GFH=90°，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 （1）∵矩形ABCD中，AB=5，BE=3，AE=4，
∴AB²=AE²+BE²，
∴∠GEH=∠AEB=90°，同理∠GFH=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，
在△ABE與△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{BE=DF}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF，
∴∠DCG=∠BAH，
∵∠BAH+∠GAE=∠BAH+∠GAH=90°，
∴∠BAH=∠GAH=∠DCG，
∴∠CGD+∠AGB=90°，
∴∠BGC=90°，
∴∠GEH=∠BGC=∠GFH=90°，
∴四邊形EHFG是矩形；
（2）∵∠AHD=∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠DAH=∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠BAE=∠ADH，
∴△ABE∽△ADH，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AE}{DH}$=$\frac{BE}{AH}$，
∴AH=6，DH=8，
∴EH=2，HF=5，
∴EF=$\sqrt{{2}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{29}$．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，射影定理，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．