Question

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B在第二象限，BC交x軸于點(diǎn)D．
（1）如圖①，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，3），求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）如圖②，若E為AB上一點(diǎn)，DE與OA的延長線交于點(diǎn)G，且DG=OG，求∠DOE的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作AE⊥y軸于E，CF⊥y軸于F，連接AC、OB，AC與OB交于點(diǎn)K．由△AEO≌△OFC，推出AE=OF=1，OE=CF=3，推出C（-3，-1），由AK=KC，BK=OK，設(shè)B（m，n），則有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+0}{2}=\frac{-1-3}{2}}\\{\frac{n+0}{2}=\frac{3-1}{2}}\end{array}\right.$，解方程組即可解決問題．
（2）如圖2中，作OH⊥DE于H．首先證明∠ODH=∠ODC，由OH⊥DE，OC⊥DC，推出OH=OC=OA，易證Rt△ODH≌Rt△ODC，Rt△OEA≌Rt△OEH，推出∠DOC=∠DOH，∠EOH=∠EOA，可得∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOC=45°．

解答 解：（1）如圖1中，作AE⊥y軸于E，CF⊥y軸于F，連接AC、OB，AC與OB交于點(diǎn)K．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠AOE+∠COF=90°，∠COF+∠OCF=90°，
∴∠AOE=∠COF，∵∠AEO=∠CFO=90°，
∴△AEO≌△OFC，
∴AE=OF=1，OE=CF=3，
∴C（-3，-1），
∵AK=KC，BK=OK，設(shè)B（m，n），則有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+0}{2}=\frac{-1-3}{2}}\\{\frac{n+0}{2}=\frac{3-1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-4}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴B（-4，2）．

（2）如圖2中，作OH⊥DE于H．

∵DG=OG，
∴∠GDO=∠GOD，
∵OA∥BC，
∴∠GOD=∠CDO，
∴∠ODH=∠ODC，∵OH⊥DE，OC⊥DC，
∴OH=OC=OA，
易證Rt△ODH≌Rt△ODC，Rt△OEA≌Rt△OEH，
∴∠DOC=∠DOH，∠EOH=∠EOA，
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOC=45°．

點(diǎn)評 本題考查正方形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．