Question

6．在平面直角坐標系中，過一點分別作坐標軸的垂線，若與坐標軸圍成的長方形的周長與面積相等，則這個點叫做和諧點，如，在圖中，過點P分別作x軸、y軸的垂線，若與坐標軸圍成的長方形OAPB的周長與面積相等，則點P是和諧點．
（1）請判斷點M（1，3），N（3，6）是否為和諧點，并說明理由；
（2）若和諧點P（a，3）在直線y=x+3b（b為常數）上，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）根據和諧點的定義，利用點M、N的坐標分別求得矩形OAMB、OANB的周長與面積進行驗證即可；
（2）根據和諧點的定義列出關于a方程，通過解方程可以求得a的值，然后把點P的坐標代入直線方程來求b的值即可．

解答 解：（1）點M不是和諧點，點N是和諧點．
理由：∵M（l，3），
∴L=（1+3）×2=8，S=1×3=3，
∵L≠S，
∴M（l，2）不是和諧點；
∵N（3，6），
∴L=（3+6）×2=18，S=3×6=18，
∵L=S，
∴N（3，6）是和諧點；

（2）∵P（a，3）是和諧點，
∴（a+3）×2=3a，
解得a=6．
∴P（6，3）代入y=x+3b，得
3=6+3b，
解得b=-1．
綜上所述，a=6，b=-1．

點評 本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征．經過函數的某點一定在函數的圖象上．