Question

如圖1，已知拋物線y=ax²+c與x軸正半軸交于點(diǎn)F（16，0）、與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)E（0，-16），邊長(zhǎng)為16的正方形ABCD的頂點(diǎn)D與原點(diǎn)O重合，頂點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，頂點(diǎn)C與點(diǎn)F重合．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖2，若正方形ABCD在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，并且邊BC所在的直線始終與x軸垂直，拋物線始終與邊AB交于點(diǎn)P且同時(shí)與邊CD交于點(diǎn)Q（運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P不與A、B兩點(diǎn)重合，點(diǎn)Q不與C、D兩點(diǎn)重合）．設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，n）（m＞0），
①當(dāng)PO=PF時(shí)，分別求出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
②在①的基礎(chǔ)上，當(dāng)正方形ABCD左右平移時(shí)，m的取值范圍是

 

；
③當(dāng)n=-7時(shí)，是否存在m的值使點(diǎn)P為AB邊中點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,解一元二次方程-直接開平方法,二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,等腰三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式．
（2）①過點(diǎn)P作PG⊥x軸，垂足為G，根據(jù)等腰三角形的三線合一可得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，代入拋物線的解析式就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；由條件可以得到y(tǒng)_Q-y_P=16，從而求出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式就可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②由于拋物線始終與邊AB交于點(diǎn)P且同時(shí)與邊CD交于點(diǎn)Q，只需考慮點(diǎn)C、點(diǎn)A左右平移到拋物線上時(shí)對(duì)應(yīng)的m的值，就可得到m的范圍；③假設(shè)存在，由n=-7即y_P=-7可以求出x_P，由點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)可求出此時(shí)m的值，從而得到正方形四個(gè)頂點(diǎn)以及點(diǎn)Q的坐標(biāo)，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，與條件矛盾，故不存在．

解答：解：（1）如圖1，
由拋物線y=ax²+c經(jīng)過點(diǎn)F（16，0）、點(diǎn)E（0，-16）得：

a•162+c=0 c=-16

，
解得：

a= 1 16 c=-16

，
∴拋物線的解析式為y=

1

16

x²-16．

（2）①過點(diǎn)P作PG⊥x軸，垂足為G，如圖2，
∵PO=PF，∴OG=FG．
∵F（16，0），∴OF=16．
∴OG=

1

2

OF=8，即x_P=8．
∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴y_P=

1

16

×8²-16=-12．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，-12）．
∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為16的正方形，
BC⊥x軸，A的坐標(biāo)為（m，n）（m＞0），
∴y_Q=y_C=y_D，y_P=y_A=y_B=n，
x_A=x_D=m，y_D-y_A=x_C-x_D=16．
∴y_Q-y_P=16．
∴y_Q=4．
∴

1

16

x_Q²-16=4．
解得：x_Q=±8

5

．（舍負(fù)）
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（8

5

，4）．
②當(dāng)點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)（8

5

，4）時(shí)，8

5

-m=16．
解得：m=8

5

-16．
當(dāng)點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)（8，-12）時(shí)，m=8．
∵拋物線始終與邊AB交于點(diǎn)P且同時(shí)與邊CD交于點(diǎn)Q，
（運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P不與A、B兩點(diǎn)重合，點(diǎn)Q不與C、D兩點(diǎn)重合）
∴m的范圍是8

5

-16＜m＜8．
故答案為：8

5

-16＜m＜8．
③當(dāng)n=-7時(shí)，不存在m使點(diǎn)P為AB邊中點(diǎn)．
證明：（反證法）假設(shè)存在m使點(diǎn)P為AB邊中點(diǎn)，
由n=-7得y_P=-7，則有

1

16

x_P²-16=-7．
解得：x_P=±12．（舍負(fù)）
故x_P=12．
∵點(diǎn)P為AB邊中點(diǎn)，∴AP=BP=

1

2

AB=8．
∴x_P-x_A=8，即12-m=8．
解得：m=4．
此時(shí)A（4，-7），B（20，-7），C（20，9），D（4，9）．
由

1

16

x²-16=9得x=±20（舍負(fù)），則Q（20，9）．
此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合．
與條件“運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P不與A、B兩點(diǎn)重合，點(diǎn)Q不與C、D兩點(diǎn)重合”矛盾，
所以假設(shè)不成立．
所以當(dāng)n=-7時(shí)，不存在m使點(diǎn)P為AB邊中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí)，有一定的綜合性．在解答的過程中采用了臨界值法求m的范圍，采用了反證法證明“當(dāng)n=-7時(shí)，不存在m使點(diǎn)P為AB邊中點(diǎn)．”在解決最后一個(gè)問題的過程中，可能會(huì)產(chǎn)生因沒有驗(yàn)證而認(rèn)為存在的錯(cuò)誤，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，有利于形成科學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度，是一條好題．