Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，BC=6，CD=AC=8，M、N分別是對角線BD、AC的中點．
（1）求證：MN⊥AC．
（2）求MN的長．

Answer 1

考點：直角三角形斜邊上的中線,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接AM、CM，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AM=CM=BM=DM=

1

2

BD，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明；
（2）利用勾股定理類似求出BD，再求出AM、AN，再利用勾股定理列式計算即可得解．

解答：（1）證明：如圖，連接AM、CM，
∵∠BAD=∠BCD=90°，M是BD的中點，
∴AM=CM=BM=DM=

1

2

BD，
∵N是AC的中點，
∴MN⊥AC；

（2）解：∵∠BCD=90°，BC=6，CD=8，
∴BD=

BC2+CD2

=

62+82

=10，
∴AM=

1

2

×10=5，
∵AC=6，N是AC的中點，
∴AN=

1

2

×6=3，
∴MN=

AM2-AN2

=

52-32

=4．

點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理，熟記性質(zhì)與定理并作輔助線構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．