Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE為AB邊上的中線，∠ACD=3∠BCD．求證：DE=DC．

Answer 1

考點：直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：先求出∠BCD，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠B，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CE=BE，根據(jù)等邊對等角可得∠BCE=∠B，再求出∠DCE=45°，然后判斷出△CDE是等腰直角三角形，最后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明即可．

解答： 證明：∵∠ACB=90°，∠ACD=3∠BCD，
∴∠BCD=90°×

1

1+3

=22.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠B=90°-∠BCD=90°-22.5°=67.5°，
∵∠ACB=90°，CE為AB邊上的中線，
∴CE=BE，
∴∠BCE=∠B=67.5°，
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=67.5°-22.5°=45°，
又∵CD⊥AB，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴DE=DC．

點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出∠DCE=45°是解題的關(guān)鍵．