Question

14．如圖，點O是∠APB角平分線CP上一點，⊙O與PA相切于點E．
（1）如圖1，求證：PB是⊙O的切線；
（2）如圖2，若⊙O的半徑為1，∠APB=60°，點D為⊙O上一點，且∠PDE=90°，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）連OE，作OF⊥PB于F，由角平分線的性質(zhì)可得OE=OF，則可證得結(jié)論；
（2）如圖2，延長PD交⊙O 于G，連接EG，根據(jù)已知條件得到∠EDG=90°，推出EG是⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理得到∠GEP=90°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠APC=30°，解直角三角形得到PE=$\sqrt{3}$OE=$\sqrt{3}$，根據(jù)勾股定理得到PG=$\sqrt{P{E}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{7}$，由切割線定理即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：如圖1，連接OE，作OF⊥PB于F，
∵⊙O與PA相切于點E，
∴OE⊥PA，
∵OP是∠APB的角平分線，
∴OF=OE，
∴PB是⊙O的切線；

（2）如圖2，延長PD交⊙O 于G，連接EG，
∵∠PDE=90°，
∴∠EDG=90°，
∴EG是⊙O的直徑，
∴∠GEP=90°，
∵PA，PB是⊙O的切線，∠APB=60°，
∴∠APC=30°，
∴PE=$\sqrt{3}$OE=$\sqrt{3}$，
∴PG=$\sqrt{P{E}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵PE²=PD•PG，
∴PD=$\frac{3}{\sqrt{7}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，
∴DE=$\sqrt{P{E}^{2}-P{D}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，切割線定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．