Question

20．已知菱形OABC在平面直角坐標系的位置如圖所示，頂點A（5，0），OB=4$\sqrt{5}$，點P是對角線OB上的一個動點，D（0，1），當CP+DP最短時，點P的坐標為（　�。�

• A． （1，$\frac{1}{2}$）
• B． （$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$）
• C． （$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{5}$）
• D． （$\frac{10}{7}$，$\frac{5}{7}$）

Answer 1

分析 如圖，連接AC交OB于K，作KH⊥OA于H．由四邊形ABCD 是菱形，推出AC⊥OB，A、C關于對角線OB對稱，推出PC=PC，推出PC+PD=PA+PD，所以當D、P、A共線時，PC+PD的值最小，求出直線OB與直線AD的交點即可解決問題．

解答 解：如圖，連接AC交OB于K，作KH⊥OA于H．
∵四邊形ABCD 是菱形，
∴AC⊥OB，A、C關于對角線OB對稱，
∴PC=PC，
∴PC+PD=PA+PD，
∴當D、P、A共線時，PC+PD的值最小，
在Rt△OAK中，∵OK=2$\sqrt{5}$，OA=5，
∴AK=$\sqrt{O{A}^{2}-O{K}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵KH⊥OA，
∴KH=$\frac{OK•AK}{OA}$=2，OH=$\sqrt{O{K}^{2}-K{H}^{2}}$=4，
∴K（4，2），
∴直線OK的解析式為y=$\frac{1}{2}$x，
直線AD的解析式為y=-$\frac{1}{5}$x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{1}{5}x+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{10}{7}}\\{y=\frac{5}{7}}\end{array}\right.$，
∴OB與AD的交點P′（$\frac{10}{7}$，$\frac{5}{7}$），
∴當點P與P′重合時，CP+DP最短時，點P的坐標為（$\frac{10}{7}$，$\frac{5}{7}$），、
故選D．

點評 本題考查軸對稱-最短問題、坐標與圖形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用轉化的思想思考問題，學會構建一次函數(shù)解決交點問題，所以中考�？碱}型．