Question

11．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，BD⊥AB，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
（1）E為BD的中點(diǎn)，連結(jié)CE，求證：CE是⊙O的切線；
（2）若AC=3CD，求∠A的大�。�

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠1，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OE∥AD，得到∠2=∠3，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠OCE=∠ABD=90°，于是得到CE是⊙O的切線；
（2）由AB為⊙O的直徑，得到BC⊥AD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BC²=AC•CD，得到tan∠A=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠1，
∵AO=OB，E為BD的中點(diǎn)，
∴OE∥AD，
∴∠1=∠3，∠A=∠2，
∴∠2=∠3，
在△COE與△BOE中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{∠2=∠3}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△COE≌△BOE，
∴∠OCE=∠ABD=90°，
∴CE是⊙O的切線；

（2）∵AB為⊙O的直徑，
∴BC⊥AD，
∵AB⊥BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$，
∴BC²=AC•CD，
∵AC=3CD，
∴BC²=$\frac{1}{3}$AC²，
∴tan∠A=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠A=30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．