Question

2．已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)A作直線EF．
（1）如圖甲，AB為直徑，要使EF為⊙O的切線，還需添加的條件是（寫出兩種情況）：
①EF⊥AB或②∠CAF=∠B；
（2）如圖乙，AB是非直徑的弦，若∠CAF=∠B，求證：EF是⊙O的切線．
（3）如圖乙，若EF是⊙O的切線，CA平分∠BAF，求證：OC⊥AB．

Answer 1

分析 （1）添加條件是：①OA⊥EF或∠FAC=∠B根據(jù)切線的判定和圓周角定理推出即可．
（2）作直徑AM，連接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠FAC+∠CAM=90°，根據(jù)切線的判定推出即可．
（3）由同圓的半徑相等得到OA=OB，所以點(diǎn)O在AB的垂直平分線上，根據(jù)∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，等量代換得到∠BAC=∠B，所以點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，得到OC垂直平分AB．

解答 解：（1）①OA⊥EF②∠FAC=∠B，
理由是：①∵OA⊥EF，OA是半徑，
∴EF是⊙O切線，
②∵AB是⊙0直徑，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵∠FAC=∠B，
∴∠BAC+∠FAC=90°，
∴OA⊥EF，
∵OA是半徑，
∴EF是⊙O切線，
故答案為：OA⊥EF或∠FAC=∠B，

（2）作直徑AM，連接CM，
即∠B=∠M（在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等），
∵∠FAC=∠B，
∴∠FAC=∠M，
∵AM是⊙O的直徑，
∴∠ACM=90°，
∴∠CAM+∠M=90°，
∴∠FAC+∠CAM=90°，
∴EF⊥AM，
∵OA是半徑，
∴EF是⊙O的切線．

（3）∵OA=OB，
∴點(diǎn)O在AB的垂直平分線上，
∵∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，
∴∠BAC=∠B，
∴點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，
∴OC垂直平分AB，
∴OC⊥AB．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)，注意：經(jīng)過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，直徑所對的圓周角是直角．