Question

3．如圖，在四邊形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，試說明AD=CD的理由．

Answer 1

分析 過點D作DE⊥AB交BA的延長線于E，作DF⊥BC于F，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=DF，再求出∠ADE=∠CDF，然后利用“角角邊”證明△ADE和△CDF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等證明即可．

解答 證明：如圖，過點D作DE⊥AB交BA的延長線于E，作DF⊥BC于F，
所以，∠EDF+∠BAD=180°，
∵BD平分∠ABC，
∴DE=DF，
∵∠BAD與∠BCD互補，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CDF}\\{∠E=∠CFD=90°}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AD=CD．

點評 本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．