Question

如圖，二次函數(shù)y=a（x²-2mx-3m²）（其中a，m是常數(shù)，且a＞0，m＞0）的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C（0，-3），點(diǎn)D在二次函數(shù)的圖象上，CD∥AB，連接AD，過點(diǎn)A作射線AE交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)E，AB平分∠DAE．
（1）用含m的代數(shù)式表示a；
（2）求證：

AD

AE

為定值；
（3）設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為F，探索：在x軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)G，連接GF，以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個滿足要求的點(diǎn)G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）由C在二次函數(shù)y=a（x²-2mx-3m²）上，則其橫縱坐標(biāo)必滿足方程，代入即可得到a與c的關(guān)系式．
（2）求證

AD

AE

為定值，一般就是計(jì)算出AD、AE的值，然后相比．而求其長，過E、D作x軸的垂線段，進(jìn)而通過設(shè)邊長，利用直角三角形性質(zhì)得方程求解，是求解此類問題的常規(guī)思路，如此易得定值．
（3）要使線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形，且（2）中

AD

AE

=

3

5

，則可考慮若GF使得AD：GF：AE=3：4：5即可．由AD、AE、F點(diǎn)都易固定，且G在x軸的負(fù)半軸上，則易得G點(diǎn)大致位置，可連接CF并延長，證明上述比例AD：GF：AE=3：4：5即可．

解答：（1）解：將C（0，-3）代入二次函數(shù)y=a（x²-2mx-3m²），
則-3=a（0-0-3m²），
解得 a=

1

m2

．

（2）證明：如圖1，過點(diǎn)D、E分別作x軸的垂線，垂足為M、N．

由a（x²-2mx-3m²）=0，
解得 x₁=-m，x₂=3m，
則 A（-m，0），B（3m，0）．
∵CD∥AB，
∴D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-3，
又∵D點(diǎn)在拋物線上，
∴將D點(diǎn)縱坐標(biāo)代入拋物線方程得D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2m，-3）．
∵AB平分∠DAE，
∴∠DAM=∠EAN，
∵∠DMA=∠ENA=90°，
∴△ADM∽△AEN．
∴

AD

AE

=

AM

AN

=

DM

EN

．
設(shè)E坐標(biāo)為（x，

1

m2

(x2-2mx-3m2)），
∴

3

1 m2 (x2-2mx-3m2)

=

3m

x-(-m)

，
∴x=4m，
∴E（4m，5），
∵AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，
∴

AD

AE

=

AM

AN

=

3

5

，即為定值．

（3）解：如圖2，記二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)為F，則F的坐標(biāo)為（m，-4），過點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H．
連接FC并延長，與x軸負(fù)半軸交于一點(diǎn)，此點(diǎn)即為所求的點(diǎn)G．

∵tan∠CGO=

OC

OG

，tan∠FGH=

HF

HG

，
∴

OC

OG

=

HF

HG

，
∴OG=3m．
∵GF=

GH2+HF2

=

16m2+16

=4

m2+1

，
  AD=

AM2+MD2

=

9m2+9

=3

m2+1

，
∴

GF

AD

=

4

3

．
∵

AD

AE

=

3

5

，
∴AD：GF：AE=3：4：5，
∴以線段GF，AD，AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形，此時G點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-3m．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)性質(zhì)、勾股定理及利用直角三角形性質(zhì)求解邊長等知識，總體來說本題雖難度稍難，但問題之間的提示性較明顯，所以是一道質(zhì)量較高的題目．