Question

1．如圖，在△ABC中，以AC為直徑作⊙O交BC于D點，交AB于G點，且D是BC的中點，DE⊥AB于E點，交AC的延長線于點F．
（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）若CF=5，cos∠A=$\frac{2}{5}$，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD．先證明OD是△ABC的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)得到OD∥AB，再由DE⊥AB，得出OD⊥EF，根據(jù)切線的判定即可得出直線EF是⊙O的切線；
（2）過C點作CH∥AB于H，則∠HCD=∠B，∠CHD=∠DEB，然后根據(jù)AAS證得△DCH≌△DBE，得出CH=BE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠FCH=∠A，CH⊥EF，再解Rt△CHF，根據(jù)余弦函數(shù)的定義得到cos∠FCH=$\frac{CH}{CF}$=cos∠A=$\frac{2}{5}$，從而求得CH的長，得出BE的長．

解答 （1）證明：如圖，連結(jié)OD．
∵CD=DB，CO=OA，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AB，AB=2OD，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，即OD⊥EF，
∴直線EF是⊙O的切線；

（2）解：過C點作CH∥AB于H，則∠HCD=∠B，∠CHD=∠DEB，
在△DCH和△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HCD=∠B}\\{∠CHD=∠DEB}\\{CD=DB}\end{array}\right.$，
∴△DCH≌△DBE（AAS），
∴CH=BE，
∵CH∥AB，
∴∠FCH=∠A，CH⊥EF，
在Rt△CHF中，cos∠FCH=$\frac{CH}{CF}$=cos∠A，
∴$\frac{CH}{5}$=$\frac{2}{5}$，
∴CH=2，
∴BE=2．

點評 本題考查了切線的判定，解直角三角形，三角形中位線的性質(zhì)知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連結(jié)圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．