Question

16．已知：△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交AC于D，交BC于E．

（1）如圖1，求證：$\widehat{BE}$=$\widehat{DE}$；
（2）如圖2，過點B作⊙O的切線，交AC的延長線于點F，若tan∠CBF=$\frac{1}{2}$，求cos∠F的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理，由AB為直徑得到∠AEB=90°，則AE⊥BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠BAE=∠CAE，然后根據(jù)圓周角定理即可得到$\widehat{BE}$=$\widehat{DE}$；
（2）連結(jié)AE、BD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠ABF=90°，則利用等角的余角相等得∠CBF=∠BAE，在Rt△ABE中，由正切定義得到tan∠BAE=tan∠CBF=$\frac{1}{2}$=$\frac{BE}{AE}$，于是可設(shè)BE=a，AE=2a，易得CE=BE=a，AB=AC=$\sqrt{5}$a，接著利用面積法計算出BD=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$a，于是在Rt△ABD中，由余弦定理可計算出cos∠ABD=$\frac{4}{5}$，然后證明∠F=∠ABD，從而得到cos∠F的值．

解答 （1）證明：∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{DE}$；
（2）解：連結(jié)AE、BD，如圖，
∵BF為切線，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF=90°，
∴∠CBF=∠BAE，
在Rt△ABE中，∵tan∠BAE=tan∠CBF=$\frac{1}{2}$=$\frac{BE}{AE}$，
∴設(shè)BE=a，AE=2a，
∴CE=BE=a，AB=$\sqrt{B{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∴AC=$\sqrt{5}$a，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠F+∠DBF=90°，而∠DBF+∠ABD=90°，
∴∠F=∠ABD，
∵$\frac{1}{2}$BD•AC=$\frac{1}{2}$AE•BC，
∴BD=$\frac{2a•2a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$a，
在Rt△ABD中，cos∠ABD=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}a}{5}}{\sqrt{5}a}$=$\frac{4}{5}$，
∴cos∠F=$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理．