Question

7．如圖1所示，一次函數(shù)y=-x-3分別交x，y軸于A，C兩點，拋物線y=x²+bx+c與經(jīng)過點A，C．
（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若P為拋物線上A，C兩點間的一個動點，過點P作直線x=a，交直線AC于點Q，當(dāng)點P運動到什么位置時，線段PQ的長度最大？求此最大長度，及此時P點坐標(biāo)；
（3）如圖2在（2）條件下，直線x=-1與x軸交于N點與直線AC交于點M，當(dāng)N，M，Q，D四點是平行四邊形時，直接寫出D點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先求出A、C坐標(biāo)，把A、C兩點坐標(biāo)代入y=x²+bx+c解方程組即可．
（2）設(shè)P（a，a²+2a-3），則 Q（a，-a-3），構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．
（3）如圖2中，分兩種情形①當(dāng)MN為平行四邊形的邊時，DQ=MN=2，可得D₁（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），D₂（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{7}{2}$）．②當(dāng)MN為對角線時，可得D₃（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=-x-3分別交x，y軸于A，C兩點，
∴A（-3，0）C（0，-3），把A、C兩點坐標(biāo)代入y=x²+bx+c
得$\left\{\begin{array}{l}{-3b+c=9}\\{b+c=-1}\end{array}\right.$  解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴y=x²+2x-3．

（2）設(shè)P（a，a²+2a-3），則 Q（a，-a-3），
∴PQ=-a-3-（a²+2a-3）=-a²-3a=-（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$．
∴當(dāng)a=-$\frac{3}{2}$時，PQ是最大值=$\frac{9}{4}$，
此時  P（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

（3）如圖2中，

∵N（-1，0），M（-1，-2），Q（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
∴MN=2，
①當(dāng)MN為平行四邊形的邊時，DQ=MN=2，
∴D₁（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），D₂（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{7}{2}$）．
②當(dāng)MN為對角線時，可得D₃（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
綜上所述，滿足條件的點D的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）或（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{7}{2}$）或（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)的應(yīng)用、最值問題、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會分類討論的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．