Question

9．平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)O關(guān)于直線y=-$\frac{4}{3}$x+4對(duì)稱點(diǎn)O₁的坐標(biāo)是（$\frac{96}{25}$，$\frac{72}{25}$）．

Answer 1

分析 由直線的解析式求得A、B的坐標(biāo)，設(shè)O₁O與直線y=-$\frac{4}{3}$x+4的交點(diǎn)為D，作O₁E⊥x軸于E，根據(jù)題意OO₁⊥AB，根據(jù)三角形面積公式求得OD的長(zhǎng)，即可求得OO₁的長(zhǎng)，然后通過(guò)三角形相似求得OE的長(zhǎng)，進(jìn)一步根據(jù)勾股定理求得O₁E的長(zhǎng)，即可求得對(duì)稱點(diǎn)O₁的坐標(biāo)．

解答 解：如圖，∵原點(diǎn)O關(guān)于直線y=-$\frac{4}{3}$x+4對(duì)稱點(diǎn)O₁，
∴OO₁⊥AB，
設(shè)O₁O與直線y=-$\frac{4}{3}$x+4的交點(diǎn)為D，作O₁E⊥x軸于E，
由直線y=-$\frac{4}{3}$x+4可知A（3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=5，
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$AB•OD，
∴OD=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
∴OO₁=$\frac{24}{5}$，
∵∠ADO=∠O₁EO=90°，∠AOD=∠EOO₁，
∴△AOD∽△O₁OE，
∴$\frac{O{O}_{1}}{OA}$=$\frac{OE}{OD}$，即$\frac{\frac{24}{5}}{3}$=$\frac{OE}{\frac{12}{5}}$，
∴OE=$\frac{96}{25}$，
∴O₁E=$\sqrt{O{{\;}_{1}O}^{2}-O{E}^{2}}$=$\frac{72}{25}$，
∴點(diǎn)O₁的坐標(biāo)是（$\frac{96}{25}$，$\frac{72}{25}$），
故答案為（$\frac{96}{25}$，$\frac{72}{25}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)和圖形變化-對(duì)稱，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，求得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．