Question

10．已知點P是正方形ABCD的邊BC上任一點（不與B、C重合），分別過點B、C作BE⊥DP、CF⊥DP，垂足分別為E、F．

（1）如圖1，圖中是否存在與CF相等的線段？若存在，請找出，并加以證明，若不存在，說明理由；
（2）如圖2，若點P是CB延長線上一點，其他條件不變，BE、EF、DF三條線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）先過點B作BG⊥CF，交CF的延長線于G，構(gòu)造矩形BEFG，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，判定△BCG≌△CDF，進而根據(jù)EF=BG和BG=CF得出結(jié)論；
（2）先過點B作BG⊥CF于點G，構(gòu)造矩形BEFG，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，判定△BCG≌△CDF，進而根據(jù)EF=CF，BE=FG，F(xiàn)G+CG=CF得出結(jié)論．

解答 解：（1）存在EF=CF．
理由：過點B作BG⊥CF，交CF的延長線于G，
又∵BE⊥DP，CF⊥DP，
∴四邊形BGFE是矩形，且∠DCF+∠FDC=90°，
∴EF=BG，∠G=∠CFD=90°，
∵正方形ABCD中，CB=DC，∠BCD=90°，
∴∠BCG+∠DCF=90°，
∴∠BCG=∠FDC，
由∠G=∠CFD，∠BCG=∠FDC，CB=DC可得：△BCG≌△CDF（AAS），
∴BG=CF，
∴EF=CF；

（2）BE+DF=EF．
理由：過點B作BG⊥CF于點G，
又∵BE⊥DP，CF⊥DP，
∴四邊形BGFE是矩形，且∠DCF+∠FDC=90°，
∴EF=BG，BE=FG，∠BGC=∠CFD=90°，
∵正方形ABCD中，CB=DC，∠BCD=90°，
∴∠BCG+∠DCF=90°，
∴∠BCG=∠FDC，
由∠BGC=∠CFD，∠BCG=∠FDC，CB=DC可得：△BCG≌△CDF（AAS），
∴BG=CF，CG=DF，
∴EF=CF，
又∵FG+CG=CF，
∴BE+DF=EF．

點評 本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，以及矩形的對邊相等得出結(jié)論．