Question

20．拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點在直線y=x上，將該拋物線沿直線y=x方向平移一定的距離后，再繞頂點旋轉(zhuǎn)180°，最終得到的拋物線y=-3x²-12x-14與原拋物線關(guān)于原點中心對稱．
（1）求原拋物線的解析式及平移的距離；
（2）若1≤x≤5，求代數(shù)式$\frac{1}{a{x}^{2}+bx+c}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）先確定拋物線y=-3x²-12x-14的頂點坐標(biāo)，然后根據(jù)中心對稱的性質(zhì)求得原拋物線的頂點坐標(biāo)，即可求得解析式；由頂點坐標(biāo)得出頂點沿x軸的正方向平移2個單位，沿y軸的正方向平移2個單位，從而求得沿直線y=x方向平移的距離．
（2）求得當(dāng)1≤x≤5時，函數(shù)y=3x²-12x+14的最大值，即可求得代數(shù)式$\frac{1}{a{x}^{2}+bx+c}$的最小值．

解答 解：（1）∵y=-3x²-12x-14=-3（x+2）²-2，
∴頂點為（-2，-2），
∵拋物線y=-3x²-12x-14與原拋物線關(guān)于原點中心對稱，
∴原拋物線的頂點為（2，2），
∴原拋物線的解析式為y=3（x-2）²+2，
即y=3x²-12x+14．
由頂點坐標(biāo)可知，頂點沿x軸的正方向平移2個單位，沿y軸的正方向平移2個單位，
∴沿直線y=x方向平移了4$\sqrt{2}$個單位．
（2）把x=1代入y=3x²-12x+14得，y=5，
把x=5代入y=3x²-12x+14得，y=29，
∴1≤x≤5時，函數(shù)y=3x²-12x+14的最大值為29，
∴代數(shù)式$\frac{1}{a{x}^{2}+bx+c}$的最小值為$\frac{1}{29}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值以及中心對稱的性質(zhì)，得出頂點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．