Question

19．如圖，在菱形ABCD中，AD=2，點E在BC邊上，將菱形ABCD沿直線AE折疊，點B恰巧落在AC上的點B′處，連接BE′，若BE′⊥BC，則AE=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 過A作AF⊥CB交CB 的延長線于F，由折疊的性質(zhì)得到∠1=∠2，∠3=∠4，根據(jù)垂直的定義得到∠B′EB=90°，得到∠1=∠2=45°，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠5=∠CAB，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠3=∠4=15°，得到∠5=30°，解直角三角形即刻得到結(jié)論．

解答 解：過A作AF⊥CB交CB 的延長線于F，
∵△AB′E是△ABE沿著AE折疊得到的，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵BE′⊥BC，
∴∠B′EB=90°，
∴∠1=∠2=45°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠5=∠CAB，
∴∠5=2∠2，
∵∠3+∠5=∠2，
∴∠2=3∠3，
∴∠3=∠4=15°，
∴∠5=30°，
∴∠ABF=60°，
∵AB=2，∠F=90°，
∴AF=$\sqrt{3}$，
∴AE=$\sqrt{2}$AF=$\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了翻折變換（折疊問題），菱形的性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．