Question

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=1，OC=2，點D在邊OC上且OD=1.25．
（1）求直線AC的解析式．
（2）在y軸上是否存在點P，直線PD與矩形對角線AC交于點M，使得△DMC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）拋物線y=-x²經(jīng)過怎樣平移，才能使得平移后的拋物線過點D和點E（點E在y軸正半軸上），且△ODE沿DE折疊后點O落在邊AB上O′處？

Answer 1

分析 （1）先確定A點和C點坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式；
（2）設(shè)M（t，-$\frac{1}{2}$t+1），討論：當(dāng)DM=DC時，（t-$\frac{5}{4}$）²+（-$\frac{1}{2}$t+1）²=（$\frac{3}{4}$）²，解方程求出t，再求出MD的解析式，從而得到P點坐標(biāo)；當(dāng)MD=MC時，易得M點的坐標(biāo)，接著求出MD的解析式，從而得到P點坐標(biāo)；當(dāng)CM=CD時，（t-2）²+（-$\frac{1}{2}$t+1）²=（$\frac{3}{4}$）²，解方程求出t，再確定MD的解析式，從而得到P點坐標(biāo)；
（3），如圖2，作O′H⊥x軸于H，則O′D=OD=$\frac{5}{4}$，設(shè)O′（m，1），利用勾股定理得的（m-$\frac{5}{4}$）²+1²=（$\frac{5}{4}$）²，解得m₁=2，m₂=$\frac{1}{2}$，當(dāng)m=2時，求出AE長得到E（0，$\frac{5}{2}$），利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式為y=-（x+$\frac{3}{8}$）²+$\frac{169}{64}$，然后利用拋物線的平移變換求解；當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時，同樣可得拋物線解析式為y=-x²+$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{8}$，再利用拋物線的平移變換求解．

解答 解：（1）∵OA=1，OC=2，
∴A（0，1），C（2，0），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（0，1），C（2，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+1；
（2）存在．
D（$\frac{5}{4}$，0），CD=2-$\frac{5}{4}$=$\frac{3}{4}$，
設(shè)M（t，-$\frac{1}{2}$t+1），
當(dāng)DM=DC時，（t-$\frac{5}{4}$）²+（-$\frac{1}{2}$t+1）²=（$\frac{3}{4}$）²，解得t₁=$\frac{4}{5}$，t₂=2（舍去），則M（$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$），此時MD的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{5}{3}$，P點坐標(biāo)為（0，$\frac{5}{3}$）；
當(dāng)MD=MC時，則M點的坐標(biāo)為（$\frac{13}{8}$，$\frac{3}{16}$），此時MD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{8}$，P點坐標(biāo)為（0，-$\frac{5}{8}$）；
當(dāng)CM=CD時，（t-2）²+（-$\frac{1}{2}$t+1）²=（$\frac{3}{4}$）²，解得t₁=$\frac{20+3\sqrt{5}}{10}$，t₂=$\frac{20-3\sqrt{5}}{10}$，
則M（$\frac{20+3\sqrt{5}}{10}$，-$\frac{3\sqrt{5}}{20}$）或（$\frac{20-3\sqrt{5}}{10}$，$\frac{3\sqrt{5}}{20}$），
此時MD的解析式為y=-（$\sqrt{5}$-2）x+$\frac{5（\sqrt{5}-2）}{4}$或y=（$\sqrt{5}$+2）x-$\frac{5（\sqrt{5}+2）}{4}$，P點坐標(biāo)為（0，$\frac{5\sqrt{5}-10}{4}$）或（0，$\frac{-5\sqrt{5}-10}{4}$），
綜上所述，P點坐標(biāo)為（0，$\frac{5}{3}$）或（0，-$\frac{5}{8}$）或（0，$\frac{5\sqrt{5}-10}{4}$）或（0，$\frac{-5\sqrt{5}-10}{4}$）；
（3）△ODE沿DE折疊后點O落在邊AB上O′處，如圖2，作O′H⊥x軸于H，則O′D=OD=$\frac{5}{4}$，
設(shè)O′（m，1），
在Rt△O′DH中，（m-$\frac{5}{4}$）²+1²=（$\frac{5}{4}$）²，解得m₁=2，m₂=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)m=2時，AO′=2，而EO′=EO=EA+1，
∴EA²+2²=（EA+1）²，解得EA=$\frac{3}{2}$，
∴E（0，$\frac{5}{2}$），
設(shè)平移的拋物線解析式為y=-x²+bx+c，
把E（0，$\frac{5}{2}$），D（$\frac{5}{4}$，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{c=\frac{5}{2}}\\{-\frac{25}{16}+\frac{5}{4}b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{4}}\\{c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$，
∵y=-（x+$\frac{3}{8}$）²+$\frac{169}{64}$，
∴拋物線y=-x²先向左$\frac{3}{8}$單位，再向上平移$\frac{169}{64}$單位，才能使得平移后的拋物線過點D和點E；
當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時，AO′=$\frac{1}{2}$，而EO′=EO=1-AE，
∴EA²+（$\frac{1}{2}$）²=（1-AE）²，解得EA=$\frac{3}{8}$，
∴E（0，$\frac{5}{8}$），
同樣可得拋物線解析式為y=-x²+$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{8}$，
∵y=-（x-$\frac{3}{8}$）²+$\frac{49}{64}$，
∴拋物線y=-x²先向右$\frac{3}{8}$單位，再向上平移$\frac{49}{64}$單位，才能使得平移后的拋物線過點D和點E．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移變換和矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)和等腰三角形的判定；會運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式；會運用勾股定理和兩點間的距離公式計算線段的長；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；注意分類討論思想的應(yīng)用．