Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，5），B（3，-1），點(diǎn)M在x軸上，當(dāng)AM-BM最大時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′，連接AB′并延長與x軸的交點(diǎn)，即為所求的M點(diǎn)．利用待定系數(shù)法求出直線AB′的解析式，然后求出其與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，即M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′，連接AB′并延長與x軸的交點(diǎn)，即為所求的M點(diǎn)．此時AM-BM=AM-B′M=AB′．
不妨在x軸上任取一個另一點(diǎn)M′，連接M′A、M′B、M′B′．
則M′A-M′B=M′A-M′B′＜AB′（三角形兩邊之差小于第三邊）．
∴M′A-M′B＜AM-BM，即此時AM-BM最大．
∵B′是B（3，-1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，
∴B′（3，1）．
設(shè)直線AB′解析式為y=kx+b，把A（1，5）和B′（3，1）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=5}\\{3k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=7}\end{array}\right.$，
∴直線AB′解析式為y=-2x+7．
令y=0，解得x=$\frac{7}{2}$，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{7}{2}$，0）．

點(diǎn)評 本題考查了軸對稱--最短路線問題、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．解題時可能感覺無從下手，主要原因是平時習(xí)慣了線段之和最小的問題，突然碰到線段之差最大的問題感覺一籌莫展．其實(shí)兩類問題本質(zhì)上是相通的，前者是通過對稱轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”問題，而后者（本題）是通過對稱轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之差小于第三邊”問題．可見學(xué)習(xí)知識要活學(xué)活用，靈活變通．