Question

12．如圖，在△ABC中，∠B=60°．以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，分別以點(diǎn)D、E為圓心，以大于$\frac{1}{2}$DE長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)F，作射線AF與BC相交于點(diǎn)M；
（1）求證：∠BAM=∠CAM．
（2）作△ABC的角平分線CN交AM于G，求證：GM=GN．

Answer 1

分析 （1）連接QF、WF，根據(jù)SSS推出即可；
（2）過G作GZ⊥AB于Z，GP⊥BC于P，GO⊥AC于O，求出∠GZN=90°，GZ=GP=GO，∠GZB=∠GPB=90°，∠ZGP=120°，根據(jù)角平分線定義和三角形內(nèi)角和定理求出∠NGM=∠AGC=120°，求出∠ZGN=∠MGP，根據(jù)ASA推出△ZGN≌△PGM即可．

解答 證明：（1）連接QF，WF，
由作法可知：AQ=AW，QF=WF，
∵在△AQF和△AWF中
$\left\{\begin{array}{l}{AQ=AW}\\{AF=AF}\\{FQ=FW}\end{array}\right.$
∴△AQF≌△AWF（SSS），
∴∠BAM=∠CAM；

（2）過G作GZ⊥AB于Z，GP⊥BC于P，GO⊥AC于O，
∵△ABC的角平分線CN交AM于G，
∴∠GZN=90°，GZ=GP=GO，∠GZB=∠GPB=90°，
∵∠B=60°，
∴∠ZGP=360°-90°-90°-60°=120°，
∵△ABC的角平分線CN交AM于G，∠B=60°，
∴∠GAC+∠GCA=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}×$（180°-60°）=60°，
∴∠NGM=∠AGC=180°-60°=120°，
即∠NGM=∠ZGP=120°，
∴都減去∠ZGM得：∠ZGN=∠MGP，
在△ZGN和△PGM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠GZN=∠GPM=90°}\\{GZ=GP}\\{∠ZGN=∠MGP}\end{array}\right.$
∴△ZGN≌△PGM（ASA），
∴GM=GN．

點(diǎn)評 本題考查了角平分線定義及性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．