Question

7．已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線CD經(jīng)過直角頂點(diǎn)C，分別過點(diǎn)A、點(diǎn)B作CD的垂線，垂足分別為E，D
（1）如圖1，當(dāng)直線CD與線段AB不相交時，若AE=4.8，BD=1.7，求DE的長；
（2）直線CD與線段AB相交時，題中的其他條件不變，請你先在備用圖中畫出圖形，再限據(jù)（1）的解題經(jīng)驗(yàn)，提出一個更一般的問題，并解決之．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到∠AEC=∠BDC=90°，由余角的性質(zhì)得到∠BCD=∠EAC，推出△BDC≌△CEA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=AE=4.8，CE=BD=1.7，于是得到DE=4.8+1.7=6.5；
（2）根據(jù)已知條件得到∠AEC=∠BDC=90°，由余角的性質(zhì)得到∠BCD=∠EAC，推出△BDC≌△CEA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=AE=4.8，CE=BD=1.7，于是得到DE=CD-CE=4.8-1.7=3.1．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AE⊥DE，BD⊥DE，
∴∠AEC=∠BDC=90°，
∴∠BCD=∠EAC，
在△BDC與△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠EAC}\\{∠BDC=∠AEC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△CEA，
∴CD=AE=4.8，CE=BD=1.7，
∴DE=4.8+1.7=6.5；

（2）∵∠ACB=90°，AE⊥DE，BD⊥DE，
∴∠AEC=∠BDC=90°，
∴∠BCD=∠EAC，
在△BDC與△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠EAC}\\{∠BDC=∠AEC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△CEA，
∴CD=AE=4.8，CE=BD=1.7，
∴DE=4.8+1.7=6.5；
∴DE=CD-CE=4.8-1.7=3.1．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．