Question

14．已知△ABC，
（1）如圖（1），若P點(diǎn)是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，則∠P=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）如圖（2），若P點(diǎn)是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點(diǎn)，則∠P=90°-∠A；
（3）如圖（3），若P點(diǎn)是外角∠CBF和∠BCE的角平分線的交點(diǎn)，則∠P=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
上述說法正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 3個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 1個(gè)
• D． 0個(gè)

Answer 1

分析 用角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理證明，證明時(shí)可運(yùn)用反例．

解答 解：（1）若P點(diǎn)是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，
則∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB
則∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
在△BCP中利用內(nèi)角和定理得到：
∠P=180-（∠PBC+∠PCB）=180-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
故成立；
（2）當(dāng)△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°時(shí)，結(jié)論不成立；
（3）若P點(diǎn)是外角∠CBF和∠BCE的角平分線的交點(diǎn)，
則∠PBC=$\frac{1}{2}$∠FBC=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC）=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC，
∠BCP=$\frac{1}{2}$∠BCE=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB
∴∠PBC+∠BCP=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∴∠PBC+∠BCP=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
在△BCP中利用內(nèi)角和定理得到：
∠P=180-（∠PBC+∠PCB）=180-$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
故成立．
∴說法正確的個(gè)數(shù)是2個(gè)．
故選B．

點(diǎn)評 此題主要考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系．
（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和；
（2）三角形的內(nèi)角和是180度．求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°這一隱含的條件．