Question

20．如圖，足夠大的直角三角板ABP的頂點(diǎn)P固定在直線OM：y=x上，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為$\sqrt{3}$，直角三角板的邊AP、BP分別與y軸、x軸交于C、D兩點(diǎn)，在圖1中直角三角板的邊AP與y軸垂直．
（1）將圖1中的直角三角板繞頂點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，如圖2，則PC=2，PD=2；若CD交OP于點(diǎn)E，求△PED的面積；
（2）將（1）問中的三角板繼續(xù)繞頂點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，若PA交直線OD于點(diǎn)G，當(dāng)△PGD與△OCD相似時(shí)，求OD的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1所示：過點(diǎn)P作PF⊥y軸，垂足為FPG⊥x軸，垂足為G．先求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），然后由特殊銳角三角函數(shù)值可求得PC=2，PD=2，F(xiàn)C=GD=1，于是得到C（0，$\sqrt{3}-1$），D（$\sqrt{3}+1$，0），由角平分線的性質(zhì)可知點(diǎn)E到x軸、y軸的距離相等，故此$\frac{{S}_{△COE}}{{S}_{△DOE}}=\frac{OC}{OD}=\frac{EC}{ED}$，從而可求得$\frac{ED}{DC}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}}$，最后根據(jù)${S}_{PED}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}}×{S}_{△PDC}$求解即可；
（2）設(shè)直線PA的解析式為y=k（x-$\sqrt{3}$）+$\sqrt{3}$，直線PB的解析式為y₁=$-\frac{1}{k}$（x-$\sqrt{3}$）+$\sqrt{3}$，可求得G（$-\frac{\sqrt{3}}{k}+\sqrt{3}$，0），點(diǎn)C（0，$-\sqrt{3}k+\sqrt{3}$）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}k+\sqrt{3}$，0），如圖2、圖3所示利用相似三角形的性質(zhì)可求得k的值，從而可求得OD的長．

解答 解：（1）如圖1所示：過點(diǎn)P作PF⊥y軸，垂足為F，過點(diǎn)P作PG⊥x軸，垂足為G．

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為$\sqrt{3}$且點(diǎn)P在y=x上，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．
∴PF=PG=$\sqrt{3}$．
∵∠FPC=∠DPG=30°，
∴PC=$\frac{PF}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，PD=$\frac{PF}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2．
∴FC=GD=1．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，$\sqrt{3}-1$），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}+1$，0）．
∵點(diǎn)E在y=x上，
∴點(diǎn)E到x軸、y軸的距離相等．
∴$\frac{{S}_{△COE}}{{S}_{△DOE}}=\frac{OC}{OD}=\frac{EC}{ED}$，即$\frac{CE}{ED}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$．
∴$\frac{ED}{DC}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}}$．
∴${S}_{△PED}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}}×{S}_{△PDC}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}}×\frac{1}{2}×2×2$=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：2；2．
（2）設(shè)直線PA的解析式為y=k（x-$\sqrt{3}$）+$\sqrt{3}$，直線PB的解析式為y₁=$-\frac{1}{k}$（x-$\sqrt{3}$）+$\sqrt{3}$．
令y=0得：k（x-$\sqrt{3}$）+$\sqrt{3}$=0，解得：x=$-\frac{\sqrt{3}}{k}$+$\sqrt{3}$，令x=0得；y=-$\sqrt{3}k+\sqrt{3}$，
則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（$-\frac{\sqrt{3}}{k}+\sqrt{3}$，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，$-\sqrt{3}k+\sqrt{3}$）．
令y₁=0得$-\frac{1}{k}$（x-$\sqrt{3}$）+$\sqrt{3}$=0，解得：x=$\sqrt{3}$k+$\sqrt{3}$．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}k+\sqrt{3}$，0）．
如圖2所示：

∵△PDG∽△DOC，
∴∠PGD=∠CDG．
∴CG=CD．
∵OC⊥GD，
∴OG=OD．
∴$-\frac{\sqrt{3}}{k}+\sqrt{3}$+$\sqrt{3}k+\sqrt{3}$=0．
解得：k₁=$\sqrt{2}-1$，k₂=$-\sqrt{2}-1$（舍去）．
∴OD=$\sqrt{3}k+\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$．
如圖3所示：

∵△PDG∽△DOC，
∴∠PDG=∠CDO．
∴∠OCG=∠CDO．
∴△OCG∽△ODC．
∴OC²=OG•OD，即$（\sqrt{3}-\sqrt{3}k）^{2}$=（$-\frac{\sqrt{3}}{k}+\sqrt{3}$）×（$\sqrt{3}k+\sqrt{3}$）．
解得：k₁=$\sqrt{2}+1$，k₂=$-\sqrt{2}+1$（舍去），k₃=1（舍去）．
∴OD=$\sqrt{3}k+\sqrt{3}$=$\sqrt{3}×（\sqrt{2}+1）$+$\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$+2$\sqrt{3}$．
綜上所述，OD的長為$\sqrt{6}$或$\sqrt{6}+2\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，設(shè)出直線PA、PB的解析式，求得點(diǎn)C、D、G的坐標(biāo)（用含k的式子表示），然后由相似三角形的性質(zhì)求得k的值是解題的關(guān)鍵．