Question

如圖①，Rt△ABC中，∠B=90°，頂點坐標分別是A（20，0），B（8，16），C（20，25）．
（1）分別求AB、BC的長度；
（2）點P從點A出發(fā)，沿A→B→C的方向勻速運動，同時點Q從點D（0，10）出發(fā)，沿y軸正方向以相同速度運動，當點P到達點C時，兩點同時停止運動，設(shè)運動的時間為t秒，當點P在AB上運動時，△OPQ的面積S（平方單位），與時間t（秒）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分（如圖②）．
①試確定點P從點A運動到點C所需要的時間；
②當點P在AB上運動時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當S取最大值時，點P的坐標；
③在點P沿A→B→C的方向勻速運動過程中，使∠OPQ=90°的點P有幾個？如果有，請求出相應(yīng)t的值，如果沒有，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由A、B、C三點的坐標，根據(jù)平面直角坐標系中兩點之間的距離公式即可求出AB、BC的長度；
（2）①先由圖2得出點P在AB上運動的時間為4秒，根據(jù)速度=路程÷時間得出點P的運動速度，再根據(jù)時間=路程÷速度即可求出點P從點A運動到點C所需要的時間；
②如圖①，過點P作PE⊥x軸于點E，PF⊥y軸于點F．先由平行線的性質(zhì)得出∠1=∠BAC，再解Rt△AEP，得出AE=3t，PE=4t，則P（20-3t，4t），又OQ=OD+DQ=10+5t，根據(jù)三角形的面積公式得出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S=-

15

2

t²+35t+100，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出當t=

7

3

時，S取最大值時，進而求出點P的坐標；
③在點P沿A→B→C的方向勻速運動過程中，分兩種情況進行討論：
（Ⅰ）當點P在AB邊上運動時，如圖①，過點P作PF⊥y軸于點F，得到P（20-3t，4t），Q（0，10+5t），F(xiàn)（0，4t），0≤t≤4，由射影定理得出PF²=OF•FQ，據(jù)此列出方程（20-3t）²=4t（10+5t-4t），解方程求出t的值；
（Ⅱ）當點P在BC邊上運動時，如圖③，過點P作PE⊥x軸于點E，PF⊥y軸于點F．過點B作MN⊥于x軸于點M，交PF于點N．求出P（4t-8，3t+4），Q（0，10+5t），F(xiàn)（0，3t+4），4≤t≤7，由射影定理得出PF²=OF•FQ，據(jù)此列出方程（4t-8）²=（3t+4）（10+5t-3t-4），解方程求出t的值．

解答：解：（1）∵A（20，0），B（8，16），C（20，25），
∴AB=

(8-20)2+(16-0)2

=20，
BC=

(20-8)2+(25-16)2

=15；

（2）①由圖2可知，點P在AB上運動的時間為4秒，
∴點P的運動速度為20÷4=5個單位/秒，
∴點P從點A運動到點C所需要的時間為（20+15）÷5=7秒；

②如圖①，過點P作PE⊥x軸于點E，PF⊥y軸于點F．
∵AC⊥x軸，
∴PE∥AC，
∴∠1=∠BAC．
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=20，BC=15，AC=25，
∴sin∠BAC=

BC

AC

=

15

25

=

3

5

，cos∠BAC=

AB

AC

=

20

25

=

4

5

．
∵在Rt△AEP中，∠AEP=90°，AP=5t，
∴AE=AP•sin∠1=5t•

3

5

=3t，PE=AP•cos∠1=5t•

4

5

=4t，
∴OE=OA-AE=20-3t，
∴P（20-3t，4t）．
∵OQ=OD+DQ=10+5t，
∴△OPQ的面積S=

1

2

OQ•PF=

1

2

（10+5t）（20-3t）=-

15

2

t²+35t+100，
即S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S=-

15

2

t²+35t+100，
∵S=-

15

2

t²+35t+100=-

15

2

（t-

7

3

）²+

845

6

，
∴當t=

7

3

時，S取最大值時，此時點P的坐標為（13，

28

3

）；

③在點P沿A→B→C的方向勻速運動過程中，使∠OPQ=90°的點P有1個．
（Ⅰ）當點P在AB邊上運動時，如圖①，過點P作PF⊥y軸于點F．
由上可知，P（20-3t，4t），Q（0，10+5t），F(xiàn)（0，4t），0≤t≤4，
∵∠OPQ=90°，∴PF²=OF•FQ，即（20-3t）²=4t（10+5t-4t），
解得t=16±4

11

，其中0≤16-4

11

≤4，
∴當點P在AB邊上運動時，使∠OPQ=90°的點P有1個；
（Ⅱ）同理當點P在BC邊上運動時，如圖③，過點P作PE⊥x軸于點E，PF⊥y軸于點F．過點B作MN⊥于x軸于點M，交PF于點N，則MN⊥PF．
∵MN∥AC，
∴∠MBA=∠BAC，
∵∠ABC=90°，∠BNP=90°
∴∠MBA=∠BPN=90°-∠PBN，
∴∠BPN=∠BAC．
∵在Rt△BNP中，∠BNP=90°，BP=5t-20，
∴BN=BP•sin∠BPN=（5t-20）•

3

5

=3t-12，PN=BP•cos∠BPN=（5t-20）•

4

5

=4t-16，
∴PF=FN+PN=8+4t-16=4t-8，OF=MN=BM+BN=16+3t-12=3t+4，
∴P（4t-8，3t+4），Q（0，10+5t），F(xiàn)（0，3t+4），4≤t≤7，
∵∠OPQ=90°，∴PF²=OF•FQ，即（4t-8）²=（3t+4）（10+5t-3t-4），
解得t=

9± 65

2

，均不符合4≤t≤7，
∴當點P在BC邊上運動時，使∠OPQ=90°的點P有0個．
綜上所述，符合題意的點P有1個，t=16-4

11

．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有平面直角坐標系中兩點之間的距離公式，銳角三角函數(shù)的定義，解直角三角形，三角形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，綜合性較強，有一定難度．運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．