Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點A（-1，0）和點B（1，4）
（1）求拋物線的解析式．
（2）若拋物線于y軸交于點D，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△PAD周長最小？若存在試求出P點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,軸對稱-最短路線問題

專題：計算題

分析：（1）把A點和B點坐標代入y=-x²+bx+c得到關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組即可；
（2）先確定D點坐標和拋物線的對稱軸，再確定A點在拋物線上的對稱點C的坐標，利用兩點之間線段最短可得到CD與直線x=1的交點P能使△PAD周長最小，然后利用待頂系數(shù)法求出CD的解析式，再計算自變量為1時的函數(shù)值即可得到P點坐標．

解答：解：（1）根據(jù)題意得

-1-b+c=0 -1+b+c=4

，解得

b=2 c=3

，
所以拋物線解析式為y=-x²+2x+3；
（2）存在．
當x=0時，y=-x²+2x+3=3，則D（0，3），
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，則拋物線的對稱軸為直線x=1，
點A（-1，0）關(guān)于直線x=1的對稱點C的坐標為（3，0），
連結(jié)CD交直線x=1于P，此時△PAD周長，
設(shè)直線CD的解析式為y=mx+n，
把C（3，0），D（0，3）代入得

3m+n=0 n=3

，解得

m=-1 n=3

，
所以直線CD的解析式為y=-x+3，
當x=1時，y=-x+3=2，
所以此時P點坐標為（1，2）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．