Question

8．如圖，在△ABC中，以AC為邊在△ABC外作正△ACD，連接BD．
（1）以點(diǎn)A為中心，把△ADB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（保留作圖痕跡）；
（2）若∠ABC=30°，BC=4，BD=6，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由于△ACD為等邊三角形，則AC=AD，∠DAC=60°，則作∠BAE=60°，再截取AE=AB，于是△ACE可由△ADB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；
（2）連結(jié)BE，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BD=CE=6，AE=AB，∠BAE=60°，可判斷△ABE為等邊三角形，所以∠ABE=60°，BE=AB，加上∠ABC=30°，所以∠EBC=90°，然后利用勾股定理計(jì)算出BE．從而得到AB的長(zhǎng)．

解答 解：（1）如圖，△ACE為所作；

（2）連結(jié)BE，如圖，
∵△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AEC，
∴BD=CE=6，AE=AB，∠BAE=60°，
∴△ABE為等邊三角形，
∴∠ABE=60°，BE=AB，
而∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°，
在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{C{E}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AB=2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．