Question

18．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，點P為邊AB上的點，連接CP，若CP=2$\sqrt{5}$，則點A到直線CP的距離是$\frac{6\sqrt{5}}{5}$或$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可以畫出相應的圖形，由已知條件可以求得斜邊上的高，與CP比較，可知本題分兩種情況，然后分類解答即可．

解答 解：如下圖所示：

作CD⊥AB于點D
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=6\sqrt{2}$，AC×BC=AB×BD．
得BD=3$\sqrt{2}$．
∵$3\sqrt{2}＜2\sqrt{5}$，
∴分兩種情況：
第一種情況：CP₁=$2\sqrt{5}$，CD=$3\sqrt{2}$．
則$D{P}_{1}=\sqrt{C{{P}_{1}}^{2}-C{D}^{2}}=\sqrt{2}$．
∵AB=BC=6，CD⊥AB，AB=$6\sqrt{2}$，
∴AD=3$\sqrt{2}$．
∴$A{P}_{1}=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$．
∴設(shè)點A到直線CP₁的距離為a，a×CP₁=AP₁×CD．
解得a=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
第二種情況：CP₂=$2\sqrt{5}$，CD=$3\sqrt{2}$．
則$D{P}_{2}=\sqrt{C{{P}_{2}}^{2}-C{D}^{2}}=\sqrt{2}$．
∵AB=BC=6，CD⊥AB，AB=$6\sqrt{2}$，
∴AD=3$\sqrt{2}$．
∴$A{P}_{2}=3\sqrt{2}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}$．
∴設(shè)點A到直線CP₂的距離為b，b×CP₂=AP₂×CD．
解得b=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{6\sqrt{5}}{5}或\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是畫出相應的圖形，利用數(shù)學中分類討論的數(shù)學思想進行解答．