Question

12．現(xiàn)有一副直角三角板（角度分別為30°、60°、90°和45°、45°、90°），如圖1所示，其中一塊三角板的直角邊AC⊥數(shù)軸，AC的中點(diǎn)過數(shù)軸原點(diǎn)O，AC=6，斜邊AB交數(shù)軸于點(diǎn)G，點(diǎn)G對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)是3；另一塊三角板的直角邊AE交數(shù)軸于點(diǎn)F，斜邊AD交數(shù)軸于點(diǎn)H．
（1）如果點(diǎn)H對(duì)應(yīng)的數(shù)軸上的數(shù)是-1，點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的數(shù)軸上的數(shù)是-3，則△AGH的面積是6，△AHF的面積是3；
（2）如圖2，設(shè)∠AHF的平分線和∠AGH的平分線交于點(diǎn)M，若∠M=26°，求∠HAO的大小；
（3）如圖2，設(shè)∠AHF的平分線和∠AGH的平分線交于點(diǎn)M，設(shè)∠EFH的平分線和∠FOC的平分線交于點(diǎn)N，設(shè)∠HAO=x°（0＜x＜60），試探索∠N+∠M的和是否為定值，若不是，請(qǐng)說明理由；若是定值，請(qǐng)直接寫出此值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出△AOG是等腰直角三角形，OG=3，OH=1，OF=3，得出OA=OG=3，GH=4，F(xiàn)H=2，由三角形面積公式即可得出結(jié)果；
（2）由∠AHF的平分線和∠AGH的平分線交于點(diǎn)M得到∠FHM=$\frac{1}{2}$∠FHA，∠HGM=$\frac{1}{2}$∠HGA，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠FHM=∠M+∠HGM，∠FHA=∠HGA+∠HAG，
則2∠M+2∠HGM=∠HGA+∠HAG，得出∠M=$\frac{1}{2}$∠HAG=$\frac{1}{2}$（∠HAO+∠OAG）=$\frac{1}{2}$∠HAO+22.5°，即可得出結(jié)果；
（3）與（2）證明方法一樣可得到∠N=90°-$\frac{1}{2}$∠FAO=90°-$\frac{1}{2}$∠FAH-$\frac{1}{2}$∠OAH=90°-15°-$\frac{1}{2}$∠OAH=75°-$\frac{1}{2}$∠OAH，加上∠M=$\frac{1}{2}$∠OAH+22.5°，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：△AOG是等腰直角三角形，OG=3，OH=1，OF=3，
∴OA=OG=3，GH=3+1=4，F(xiàn)H=3-1=2，
∴△AGH的面積=$\frac{1}{2}$GH×OA=$\frac{1}{2}$×4×3=6，△AHF的面積=$\frac{1}{2}$FH•OA=$\frac{1}{2}$×2×3=3；
故答案為：6，3；
（2）∵∠AHF的平分線和∠AGH的平分線交于點(diǎn)M，
∴∠FHM=$\frac{1}{2}$∠FHA，∠HGM=$\frac{1}{2}$∠HGA，
∵∠FHM=∠M+∠HGM，∠FHA=∠HGA+∠HAG，
∴2∠M+2∠HGM=∠HGA+∠HAG，
∴∠M=$\frac{1}{2}$∠HAG=$\frac{1}{2}$（∠HAO+∠OAG）=$\frac{1}{2}$∠HAO+22.5°，
∴∠HAO=2∠M-45°=2×26°-45°=7°；
（3）∠N+∠M=97.5°，為定值；理由如下：
∵∠EFH的平分線和∠FOC的平分線交于點(diǎn)N，
∴∠N=90°-$\frac{1}{2}$∠FAO=90°-$\frac{1}{2}$∠FAH-$\frac{1}{2}$∠OAH=90°-15°-$\frac{1}{2}$∠OAH=75°-$\frac{1}{2}$∠OAH，
∵∠M=$\frac{1}{2}$∠OAH+22.5°，
∴∠M+∠N=97.5°．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形綜合題目，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、角平分線定義、三角形面積的計(jì)算等知識(shí)；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵．