Question

11．如圖，AB是⊙O的弦，AB=7$\sqrt{2}$，點(diǎn)C是⊙O上的一動點(diǎn)，且∠ACB=45°．若點(diǎn)M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，則MN長的最大值是7．

Answer 1

分析 根據(jù)中位線定理得到MN的最大時，AC最大，當(dāng)AC最大時是直徑，從而求得直徑后就可以求得最大值．

解答 解：∵點(diǎn)M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，
∴MN=$\frac{1}{2}$AC，
∴當(dāng)AC取得最大值時，MN就取得最大值，
當(dāng)AC時直徑時，最大，如圖所示，
∵∠ACB=∠D=45°，AB=7$\sqrt{2}$，∠ABD=90°，
∴AD=$\sqrt{2}$AB=14，
∴MN=$\frac{1}{2}$AD=7，
故答案為：7．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的中位線定理、等腰直角三角形的性質(zhì)及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是了解當(dāng)什么時候MN的值最大，難度不大．