Question

4．已知一次函數(shù)y=x-2與二次函數(shù)y=x²+kx+k
（1）若兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方和等于9，求二次函數(shù)解析式．
（2）若二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點(diǎn)位于一次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的兩側(cè)，求k的取值范圍．
（3）k能否取值，使y軸右側(cè)的拋物線總在直線的下方？若能夠，求出k的取值范圍；若不能，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）先將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化出一元二次方程問題，利用一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系即可；
（2）先確定出直線和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，由題意直接得出，當(dāng)x=2時，函數(shù)值小于0，即可求出k的范圍；
（3）先由拋物線的a值是1是一個定值，并且大于1，得出拋物線開口向上，即有拋物線向上無限延伸，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=x-2①與二次函數(shù)y=x²+kx+k②，
∴聯(lián)立①②得，x²+（k-1）x+k+2=0，
∴x₁+x₂=1-k，x₁x₂=k+2，
∵兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方和等于9
∴△=（k-1）²-4（k+2）＞0，
∴k＞7或k＜-1，
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（1-k）²-2（k+2）=9，
∴k=6（舍）或k=-2，
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²-2x-2，
（2）∵一次函數(shù)y=x-2，
∴直線和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）
由（1）知，二次函數(shù)的解析式為y=x²-2x-2，
∴拋物線開口向上，
∵二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點(diǎn)位于一次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的兩側(cè)
∴當(dāng)x=2時，二次函數(shù)值2²+2k+k＜0，
∴k＜-$\frac{4}{3}$；
（3）不存在，
理由：∵拋物線解析式為y=x²+kx+k，
∴a=1＞0，
∴拋物線開口方向向上，
即：拋物線兩頭向上無限延伸，
∴拋物線要么全部在某直線上方，要么被直線分成兩部分，不可能總在直線下方．
故不存在實(shí)數(shù)k，使拋物線在y軸右側(cè)的部分總在直線y=x-2的下方．

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)轉(zhuǎn)化成一元二次方程的方法，一元二次方程的根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解本題的關(guān)鍵是將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化成一元二次方程的問題．