Question

17．如圖1，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交邊BC于點E，過點E作⊙O的切線交AC于點D，且ED⊥AC．

（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）如圖2，若線段AB、DE的延長線交于點F，∠C=75°，CD=2-$\sqrt{3}$，求⊙O的半徑和BF的長．

Answer 1

分析 （1）連接OE，根據(jù)切線性質(zhì)得OE⊥DE，與已知中的ED⊥AC得平行，由此得∠1=∠C，再根據(jù)同圓的半徑相等得∠1=∠B，可得出三角形為等腰三角形；
（2）通過作輔助線構(gòu)建矩形OGDE，再設(shè)與半徑有關(guān)系的邊OG=x，通過AB=AC列等量關(guān)系式，可求得結(jié)論．

解答 解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：
如圖1，連接OE，
∵DE是⊙O的切線，
∴OE⊥DE，
∵ED⊥AC，
∴AC∥OE，
∴∠1=∠C，
∵OB=OE，
∴∠1=∠B，
∴∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）如圖2，過點O作OG⊥AC，垂足為G，則得四邊形OGDE是矩形，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C=75°，
∴∠A=180°-75°-75°=30°，
設(shè)OG=x，則OA=OB=OE=2x，AG=$\sqrt{3}$x，
∴DG=OE=2x，
根據(jù)AC=AB得：4x=$\sqrt{3}$x+2x+2-$\sqrt{3}$，
x=1，
∴OE=OB=2，
在直角△OEF中，∠EOF=∠A=30°，
cos30=$\frac{OE}{OF}$，OF=$\frac{2}{cos30}$=2÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴BF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-2，⊙O的半徑為2．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系，由此得出平行和角的關(guān)系，根據(jù)兩個角相等的三角形是等腰三角形可得△ABC是等腰三角形；第二問運用了直角三角形30°角的性質(zhì)及等腰三角形和矩形的有關(guān)性質(zhì)，關(guān)鍵是找出恰當?shù)牡攘筷P(guān)系式：AC=AB，設(shè)未知數(shù)，列關(guān)于x的一元一次方程得出結(jié)論．