Question

一胡同拐角處的俯視圖如圖所示，已知墻壁AB⊥BC，AB∥DE，BC∥FG，且兩組平行墻壁間的寬度都為2m，內(nèi)壁EF是半徑為1m的四分之一圓弧，DE、FG分別與弧EF相切于E、F兩點(diǎn)．現(xiàn)有戶人家正在裝修，需要買一些長(zhǎng)方形木板，那么當(dāng)木板的寬度不超過(guò)

 

m時(shí)，才能順利通過(guò)此胡同（木板厚度忽略不計(jì)且不能彎曲）．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：應(yīng)用題

分析：連結(jié)OE并延長(zhǎng)交AB于M，連結(jié)OF并延長(zhǎng)交BC于N，連結(jié)OB、MN，OB交弧EF于P點(diǎn)，根據(jù)切線的性質(zhì)得OF⊥GF，OE⊥DE，OE=OF=1，則ON⊥BC，OM⊥AB，加上OM=ON=3，可判斷四邊形BMON為正方形，所以O(shè)B=

2

OM=3

2

，則BP=OB-OP=3

2

-1，過(guò)點(diǎn)P作弧EF的切線分別交AB、BC于Q、R，則QR為木板的最大寬度，利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得BP=

1

2

QR，即QR=2BP=（6

2

-2）m．

解答：解：連結(jié)OE并延長(zhǎng)交AB于M，連結(jié)OF并延長(zhǎng)交BC于N，連結(jié)OB、MN，OB交弧EF于P點(diǎn)，
∵DE、FG分別與弧EF相切于E、F兩點(diǎn)，
∴OF⊥GF，OE⊥DE，OE=OF=1，
∴ON⊥BC，OM⊥AB，
∴四邊形BMON為矩形，
而OM=ON=1+2=3，
∴四邊形BMON為正方形，
∴OB=

2

OM=3

2

，
∴BP=OB-OP=3

2

-1，
過(guò)點(diǎn)P作弧EF的切線分別交AB、BC于Q、R，則QR為木板的最大寬度，
∵點(diǎn)P為弧EF的中點(diǎn)，
∴BP=

1

2

QR，
∴QR=2BP=2（3

2

-1）=（6

2

-2）m，
即當(dāng)木板的寬度不超過(guò)（6

2

-2）m時(shí)，才能順利通過(guò)此胡同．
故答案為（6

2

-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．