Question

6．如圖①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)E在AC上（且不與點(diǎn)A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，連接AD，分別以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系；
（2）①將△CED繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，如圖②，連接AE，請(qǐng)判斷線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
②若AB=2$\sqrt{5}$，CE=2，在圖②的基礎(chǔ)上將△CED繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，當(dāng)平行四邊形ABFD為菱形時(shí)，直接寫(xiě)出線段AE的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）如圖①中，結(jié)論：AF=$\sqrt{2}$AE，只要證明△AEF是等腰直角三角形即可；
（2）①如圖②中，結(jié)論：AF=$\sqrt{2}$AE，連接EF，DF交BC于K，先證明△EKF≌△EDA再證明△AEF是等腰直角三角形即可；
②分兩種情形a、如圖③中，當(dāng)AD=AC時(shí)，四邊形ABFD是菱形．b、如圖④中當(dāng)AD=AC時(shí)，四邊形ABFD是菱形．分別求解即可；

解答 解：（1）如圖①中，結(jié)論：AF=$\sqrt{2}$AE．

理由：∵四邊形ABFD是平行四邊形，
∴AB=DF，
∵AB=AC，
∴AC=DF，
∵DE=EC，
∴AE=EF，
∵∠DEC=∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=$\sqrt{2}$AE．
故答案為AF=$\sqrt{2}$AE．

（2）①如圖②中，結(jié)論：AF=$\sqrt{2}$AE．

理由：連接EF，DF交BC于K．
∵四邊形ABFD是平行四邊形，
∴AB∥DF，
∴∠DKE=∠ABC=45°，
∴∠EKF=180°-∠DKE=135°，EK=ED，
∵∠ADE=180°-∠EDC=180°-45°=135°，
∴∠EKF=∠ADE，
∵∠DKC=∠C，
∴DK=DC，
∵DF=AB=AC，
∴KF=AD，
在△EKF和△EDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{EK=ED}\\{∠EKF=∠ADE}\\{KF=AD}\end{array}\right.$，
∴△EKF≌△EDA，
∴EF=EA，∠KEF=∠AED，
∴∠FEA=∠BED=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=$\sqrt{2}$AE．
②如圖③中，當(dāng)AD=AC時(shí)，四邊形ABFD是菱形，設(shè)AE交CD于H，易知EH=DH=CH=$\sqrt{2}$，AH=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，AE=AH+EH=4$\sqrt{2}$，

如圖④中當(dāng)AD=AC時(shí)，四邊形ABFD是菱形，易知AE=AH-EH=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
綜上所述，滿足條件的AE的長(zhǎng)為4$\sqrt{2}$或2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，尋找全等的條件是解題的難點(diǎn)，屬于中考�？碱}型．